线心二次曲线的初等证明
冯云;任天胜
【摘 要】本文给出了二次曲线为线心二次曲线的充分条件及其初等证明。并给出了线心二次曲线的具体图形．%This paper presents conditions and elementary proof for conic with a centre line. Meanwhile, the specific figure of conic with a centre line is given. 【期刊名称】《河西学院学报》
【年(卷),期】2012(028)005
【总页数】7页(P47-53)
【关键词】中心二次曲线;无心二次曲线;线心二次曲线 【作 者】冯云;任天胜
【作者单位】河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000;河西学院数学与统计学院,甘肃张掖734000
【正文语种】中 文
【中图分类】O182
在二次曲线的一般理论中，关于二次曲线按中心分类时有，当时；曲线为中心二次曲线；当时，曲线为无心曲线；当时，曲线为线心曲线.对中心二次曲线的情况学生很容易理解，有直观图形，如椭圆、双曲线；对无心曲线学生也很容易理解，有直观图形，如抛物线.但当时，曲线为线心曲线，学生很不容易理解，其图形是怎么样的情况也难以想象.而一般教材或参考书目［1-5］中对此并没有充分的论述，有的文献中给出的条件也有遗漏，因此本文详细论证了二次曲线为线心曲线的充分条件，给出了初等证明.并给出了线心二次曲线的具体图形便于广大学习者理解线心二次曲线.本文结论改正了文献［1］中的疏漏之处.
2.1 几个定义
定义1［1］在平面上，由二元二次方程
所表示的曲线，叫做二次曲线.
定义2［1］如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点 （因而C是二次曲线的对称中心），那么点C叫做二次曲线的中心.
定义3［1］直线a11x+ a12y+ a13= 0（或a12x+ a22y+ a23= 0）上的所有点都是二次曲线（1）的中心，这条直线叫做中心直线. 定义4［1］有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线.
定义5［1］没有中心的二次曲线叫做无心二次曲线.
定义6［1］有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线.
2.2 二次曲线按中心分类
关于二次曲线的分类及其相应的条件，大多数文献都有详细论述，为了论证方便，本文将文献［1］中的主要结果引述如下：
（1）二次曲线（1）为中心二次曲线
（2）二次曲线（1）为无心的二次曲线即
（3）二次曲线（1）为线心的二次曲线
对于中心与无心的证明文献［1］已叙述得很清楚，在此不再赘述.
定理1对二次曲线（1），若下列条件之一成立：
（1）其中
（2）
（3）
则二次曲线为线心曲线.
证明1°若条件（1）成立，令
则
把a11，a12，a13代入（1）式得
又a22≠0，故
配方得
移项得
化简得
①当时，
两边开方得
即
所以
将代入得
化简得
又因为
所以
得两直线
所以二次曲线（1）表示两条平行的实直线，而且两条直线l1，l2到a11x+ a12y+ a13= 0的距离相等所以它们的中心直线是l3：a11x+ a12y+ a13= 0，而曲线（1）退化为以l3为中心线的两条平行线.并根据定义6也可知，二次曲线（1）是线心二次曲线.
②当时，
得
所以
即
于是二次曲线（1）表示两条重合的实直线，其中心直线是它本身，根据定义6可知，二次曲线（1）是线心二次曲线.
③当时，
两边开方得
即
所以
得两直线
所以二次曲线（1）表示两条平行的共轭虚直线，则它们的中心直线是根据定义6可知，二次曲线（1）是线心二次曲线.
2°若条件（2）成立，则二次曲线（1）的方程变为
由于a11≠0，方程（2）可以化为
对于（3）式，可以采用配方法转化为(x− b)2= b2− c ，于是相应的二次曲线变为
或者
（4）式表示两条垂直于轴的平行实直线，或重合的两条实直线（x=-b），则它们的中心直线是x =0.根据定义6可知，二次曲线（1）是线心二次曲线.
（5）式表示两条垂直于x轴的平行共轭虚直线，则它们的中心直线是x=0.根据定义6可知，二次曲线（1）是线心二次曲线.
3°利用2°中的方法，完全类似讨论，可得如下结论：
若条件（3）成立，则二次曲线（1）表示两条垂直于y轴的平行实直线（共轭虚直线），或重合的两条垂直于y轴实直线，则它们的中心直线是y=0.根据定义6可知，二次曲线（1）是线心二次曲线.
综上所述，定理成立.
由以上证明过程，可得如下推论：
推论1若定理1的条件成立，则线心二次曲线总是两条平行的实直线（共轭虚直线），且其中心直线是到两条平行直线距离相等的实直线.
注 定理1的条件（2）和（3）补充了文献［1］中的疏漏.推论1说明了线心二次曲线的图形.不论线心二次曲线是实的平行直线还是虚的平行直线，其中心直线总是实直线.
举例验证本文定理.
例 当a，b满足什么条件时，二次曲线x2+4 xy+ ay2− 2 x+ by − 1= 0，
（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.
解 由题易知
（1）当I2≠0，即a≠4时，二次曲线有唯一中心；
（2）当I2≠0，即a=4，且，即，故b≠-4时，二次曲线没有中心；
（3）由（1）和（2）可知：当a=4，b=-4时，二次曲线有一条中心直线.
如图1、图2、图3所示
当a=5，b=-2时，其标准方程为
当a=1，b=2时，其标准方程为
当a=4，b=-2时，其标准方程为
当a=4，b=-4时，其标准方程为
文献［1］中虽然给出了按中心的分类，但并未给出线心二次曲线所满足条件的具体证明，在本文中对其进行了初等证明，由于文献［1］中并未给出线心二次曲线的具体图形，因此，本文对线心二次曲线的图形也进行了讨论，并且给出了具体的图形.文中修正了文献 ［1］中的疏漏之处，这对于初学解析几何的读者是有一定益处的.
【相关文献】
［1］吕林根，许子道.解析几何［M］.第4版.北京：高等教育出版社，2006：186-228.
［2］王文波.解析几何［M］.西安：西北大学印刷厂，1981：93-116.
［3］陈抚良，张振兰，黄浩然.解析几何［M］.北京：科学出版社，2005：214-224.
