上海市长宁区2020年高三适应性测试
数学试卷
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码． 2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分． 3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为.2.三阶行列式374
516200的值为
.
3．已知集合{}0,1,2,3A =，{}10B x x =->，则A B =∪. 4．在831x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，其常数项的值为.5.已知数列{}n a 中，11()2n n a n N *-=∈，令242n n S a a a =+++⋯，则lim n n S →∞=.
6.函数2()log (1)(0)f x x x =-≤的反函数是.
7.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为()1,0F ，O 为坐标原点，点A 是椭圆在第一象限的一点，且OAF ∆为等边三角形，则a =
.8.将函数3()sin 2f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象恰关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为_________. 9．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为.
10.一个球的内接正方体的棱长为1，则该球的体积为
.11.已知点P 为不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥-00203y y x y x
所表示的可行域内任意一点，点(A -，O 的最大值为.
12.已知()42(4.a x x a x f x x x a x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
‚‚‚，当1a ≤-时，若()3f x =有三个不等的实数根，且它们成等差数列，则a 的
值为.
二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.下列函数中，值域是[1,)+∞的函数是（）
.A 31y x =+.B 101x y -=+.C 2log 1y x =+.D ||
2x y =14.已知向量,a b 是非零向量，则“
a b a b ⋅=⋅ ”是“//a b ”的（）.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件
.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件
15.如图，
半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动．当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ．点A 运动到点A '，线段AB 的长度为2
3π，则点M '到直线A B '的距离为（）.A 1.B 23
.C 22
.D 2
116.将正奇数数列1,3,5,7,9,⋯依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：
(1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),⋯，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依此类推，则原数列中的2021位于分组序列中（）
.A 第404组.B 第405组.C 第808组.D 第809组
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1BB 的中点．
（1）求证：1D E AC ⊥；
（2）求平面1AD E 与底面ABCD 所成的锐二面角的大小．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2
()1f x x x a =+-+，其中a R ∈.
（1）讨论()f x 的奇偶性；
（2）当()f x 为偶函数时，求使()f x k x ≥恒成立的k 的取值范围.
A 11
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，在郊野公园的景观河的两岸，AB 、AC 是夹角为120︒
千米)，为方便市民观光游览，现准备在河道拐角处的另一侧建造一个观景台P ，在两条步道AB 、AC 上分別设立游客上下点M 、N ，从M 、N 到观景台P 建造两条游船观光线路MP 、NP ,
测得AM AN ==千米.
（1）求游客上下点M 、N 间的距离；
（2）若60MPN ∠= ，设PMN α∠=，求两条观光线路MP 与NP 之和关于α的表达式()f α，并求其最大值.
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为(1,0)F ，左右顶点分别为A 、B ，1BF =．过点F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆C 于点M 、N ，直线4x =与x 轴的交点为D ，与直线MB 的交点为P .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若//AP DM ，求出点P 的坐标；
（3）求证：A 、N 、P 三点共线.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件1n n a S +≤(对任意的*n N ∈)的所有数列{}n a 构成的集合记为M .
（1）若数列{}n a 的通项为1n a n =--，判断{}n a 是否属于M ，并说明理由；
（2）若数列{}n a 的通项为12n n
a =，判断{}n a 是否属于M ，并说明理由；（3）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求1a 的取值范围.
