0 前言
最短路径是络分析中的一个经典问题，在工程规划、地理信息系统、通信和军事运筹学等领域有着十分广泛的应用.最短路径问题的目的是寻图中两结点之间的最短路径，也就是沿此路径上各边的权值总和（路径长度）达到最小.近年来，最短路径问题在交通网络、通信网络、厂区布局、旅游路线推荐等实际生活中具有广泛的应用，引起了交通、物流、运筹学、管理学、计算机科学等多领域广大学者的关注，涌现出多种经典的最短路径算法以及相应改进算法.这些算法在空間复杂度、时间复杂度、易实现性及应用范围等方面各具特[4-6].文献给出了一种改进的Dijkstra标号算法，有效解决了连通无向带权图和有向带权图的最短路径问题，文献对Dijkstra算法进行了改进，有效解决多邻接点问题与多条最短路径问题，文献提出的基于Floyd算法的改进算法可以有效解决多重等价最短路问题，文献通过对固定序Bellman-Ford算法进行修正，获得了一种求解边数不大于k的最短路问题的新算法，文献给出了改进的SPFA算法，降低了算法的时间复杂度，使得对于任意的有向图，该算法都能够在O（“V||E|）内执行完毕.这些最短路径算法各有其优势，适应于不同网络结
铜官窑古镇一日游攻略1/ 8
构.本文全面地分析了最短路径问题，对Dijkstra算法、Floyd算法、Bellman-Ford算法、SPFA算法几种
经典的最短路径算法给出全面的阐述，并采用Java语言设计了一个实验系统，对这几种经典算法进行验证实验，并比较这几种经典的算法在不同网络中的运行时间和运行结果，此外，还对每种算法的适用性进行了分析.
1 相关定义
1.1 图
在一个由n个节点和m条边组成的图G（V，E）中，V代表G中所有顶点集合，E代表G中所有边集合，对稠密图的定义是有较多条边或弧的图（如e 天文馆门票需要预约吗1.2 最短路径
最短路径问题是求由源点vs到达图中任一顶点的最短路径，即寻一条路径，使得这条路径上的边的权值总和∑Wij为最小值.最短路径问题分为静态和动态等多种形式：静态路径是指在外界环境不变的基础上，计算最短路径；而动态路径是指外界环境不断发生变化，在不能预测的情况下计算最短路径.
1.3 松弛
松弛操作即如果图中两点之间存在其他路径，并且该路径的距离小于这两点之间的当前距离，那么这两点之间的最短路径长
枣庄市人力资源和社会保障局
2/ 8
度更新为这个更小的距离.若图中存在顶点无法再进行松弛操作，则称该顶点已收敛.在图1中，a点到b点的距离原本为5，但由于从a点出发经由c点也能到达b点，并且eac+ecb=1+2=35，即新路径的距离小于原始路径距离，因此将A点到B点之间的距离更新为3，此时图中各点均已收敛.
2 最短路径算法
2.1 Dijkstra算法
Dijkstra算法基于贪心策略.首先，每次到离源点最近的一个顶点，确定源点到该点之间的最短路径，然后，检查是否能通过该顶点进行松弛操作，最后，得到源点到其他各个顶点之间的最短路径.
Dijkstra算法的具体步骤如下：
（1）将图中所有顶点分为P和Q两个集合：P是已知源点到其他顶点的最短路径的顶点集合，Q是未知最短路径的顶点集合，设置源点到自身之间的距离为0，源点与能直接到达的顶点之间的距离为该边权值w，同时把源点不能直接到达的顶点的之间的距离设置为无穷大;
（2）把源点置于P中，表示已求得源点到自身的最短路径;
（3）遍历Q，出距离源点最近的顶点vi，将顶点vi置于P中，表示以求得源点到顶点vi之间的最短路径.并考察源点到
3/ 8
Q中保留的顶点之间是否能通过源点到vi之间的最短路径松弛，如果有未收敛的顶点则进行松弛操作;
（4）重复第（3）步，直至Q为空，算法结束，求得源点到图中所有顶点之间的最短路径.
2.2 Floyd算法
襄阳不收费的景点
Floyd算法是一种动态规划算法.对于G中包含的边eij，从任意节点vi到任意节点vj的最短路径d[i，j]只存在两种可能：（1）直接从vi到vj，此时dij=eij;（2）从vi经过若干个节点到vj.对于每个节点vk，检查dijdik+dkj是否成立，若成立，则令dij=dik+dkj.由此得到状态转移方程：dij=min{dij，dik+dkj}.
Floyd算法的具体步骤如下：
（1）从图G任意一个节点vk开始，遍历图中所有边eij，检查是否满足dik+dkjdij，如果成立，说明从节点i到节点k再到节点j的路径要短于直接从节点i到节点j的路径，故进行松弛操作，更新dij=dik+dkj;
（2）重复步骤（1），直至遍历完图中所有节点，dij中记录的便是节点i到节点j的最短路径距离.
成都两日游最佳攻略2.3 Bellman-Ford算法
Bellman-Ford算法通过递推迭代方式反复对边集E中每条边进行松弛操作，使得源点到其他每个顶点u∈V的最短路径估
4/ 8
计值逐渐逼近其最短距离.Bellman-Ford算法最多有n-1个阶段，在每一个阶段，都需要循环遍历图中的每一条边进行松弛操作.在前k个阶段结束后，求得从源点最多经过k条边到达其他所有顶点的最短路.n-1个阶段结束后，就求得了源点最多经过n-1条边到达其他顶点的最短路径.由于最短路径问题是不包含回路的，所以经过n-1条边得到的最短路径就是源点到其他顶点的最短路径的确定值.
Bellman-Ford算法的具体步骤如下：
（1）初始化所有点到源点之间的最短距离.将源点到自身的距离设置为0，源点到其他点的距离设置为无穷大（表示不可达）;最准天气预报软件排名第一
（2）对边集E中的每条边进行循环遍历，进行松弛操作，循环最多需进行n-1次;
（3）检测边集E中的每一条边的两个断点是否收敛.如果存在未收敛的顶点，则说明图中存在负权回路.
2.4 SPFA算法
SPFA算法采用动态逼近法，通过控制顶点的松弛顺序来优化Bellman-Ford算法.在Bellman-Ford算法中，松弛过的顶点顺序会影响之后顶点的松弛顺序，只有那些在上一次松弛中改变了最短路径估计值的顶点，才可能引起与该顶点相邻的顶点最短路径估计值发生改变.因此，用一个先进先出的队列来保存被松弛
5/ 8
