第18卷第4期铁道科学与工程学报Volume18Number4 2021年4月Journal of Railway Science and Engineering April2021 DOI:10.19713/jki.43−1423/u.T20200580
周文梁1，蔡炜1，刘晓航1,2，秦进1
(1.中南大学交通运输工程学院，湖南长沙410075；
2.广州市交通规划研究所，广东广州510000)
摘要：鉴于同OD服务列车间服务的差异性与可替代性，利用票价调节不同服务水平列车间的客流量是提高列车平均客座率、增加客票票价收益的有效手段。本文将列车旅行速度、停站次数及舒适性等作为衡量列车服务水平指标，基于列车服务水平对OD间服务列车进行聚类分级；同时构造价格-需求弹性函数描述OD之间出行量与票价之间变化关系，并采用Logit 模型将OD间的需求分配到各类服务列车上。在此基础上，构建以客票票价收益最大化为目标的高速铁路多类列车差异化票价与票额协同优化模型，并设计模拟退火算法进行求解。算例结果显示差异化定价方案的客票收益较既有单一定价方案提高了5.6%，表明差异化定价能有效提高列车客座率与铁路客票票价收益。 关键词：高速铁路；差异化定价；票额分配；列车聚类；弹性客流；模拟退火算法
中图分类号：U293.22文献标志码：A
文章编号：1672−7029(2021)04−0869−08
Optimization of differentiated fare and ticket amount for high-speed train
ZHOU Wenliang1,CAI Wei1,LIU Xiaohang1,2,QIN Jin1
(1.School of Traffic and Transportation Engineering,Central South University,Changsha410075,China;
2.Guangzhou Transport Planning Research Institute,Guangzhou510000,China)
Abstract:In view of the difference and substitutivity between the same OD service trains,using price strategy to adjustment service level is an effective means to balance the passengers among the trains and increase the revenue. In this paper,the train travel speed,the number of train stops,and the train comfort were used as service level evaluation indicators and quantified.Based on this,all trains in every section were clustered and classified.At the same time,the price-demand elasticity function was constructed to describe the relationship between the OD travel volume and the fare,and the Logit model was used to distribute the OD demand to various types of travel trains.On this basis,
a synergistic optimization model for the differential fare and ticket amount of high-speed railway multi-class trains with the goal of maximizing ticket fare gain was proposed,and a simulated annealing algorithm was designed to solve the problem.The results of the study show that the ticket yield of the differentiated pricing strategy is5.6%higher than the existing single pricing strategy.Therefore,the strategy of this work can effectively improve train load factor and railway ticket fare revenue.
Key words:high-speed railway;differential pricing;ticket allocation;train cluster;flexible passenger flow; simulated annealing algorithm
收稿日期：2020−06−23
基金项目：国家自然科学基金资助项目(U1934216，71871226，U1834209)；湖南省自然科学基金资助项目(2018JJ3698)
通信作者：周文梁(1982−)，男，江西永新人，副教授，博士，从事轨道交通组织优化；E−mail：****************
铁道科学与工程学报2021年4月870
我国高铁一直以来采取的都是基于列车运价里程的单一票价方案。在该方案下，同运价里程间中间停站少、运行时间短、发车时间合理的列车因其服务质量较高、需求旺盛而导致其运输能力紧张；但其他列车因服务质量相对较低而导致其客座率低、运输能力虚糜，这均不利于高铁运输资源的有效运用以及企业运输效益的提高。目前我国高铁正从多方向探索票价改革，试图通过收益管理思想在增加企业票价收入的同时使得不同列车运输能力得到有效利用。目前高铁列车差异化定价研究主要集中于将旅客进行市场细分后针对不同旅客体进行差异化定价。Mardman[1]指出各OD之间的旅客需求总量直接受到不同票价策略的调控。LIN[2]介绍了法国高铁票价方法由按照里程定价到引入收益管理定价最后采取改进型收益管理定价的票价机制改革历程。Savard等[3−4]介绍了日本铁路改革后如何制定折扣票价方案。Arduin等[5]在制定票价时考虑了不同列车因不同旅行时间而产生的旅行时间价值差异以及各趟列车不同的附加服务价值，Banakh等[6]则认为票价应根据物价、旅客收入水平以及竞争交通方式的价格而灵活调整。宗俊雅等[7−8]探讨了在不同时段采取不同折扣的售票方案的可能性。Armstrong等[9]分别对多区段多级票价模型以及单一票价动态票价模型进行了研究。史峰[10]采用马氏纯灭过程以及Bellman最优化原理研究我国铁路客票最优动态定价及其实用策略。李丽辉等[11−12]基于细分市场及其他交通方式的竞争构建了差别定价模型。不难看出既有研究已尝试将差异化定价等收益管理策略应用于铁路票价方案的制定中，但它们普遍针对旅客体的差异化进行定价，而且这些方法多用于单列列车的不同等级席位间的差别定价，但对相同OD间不同列车的差别定价的研究相对较少。本文针对高铁线路上各OD间所有服务列车，基于其服务水平进行聚类分析，由此确定服务列车种
类及各类列车服务水平等级；进而结合弹性客流出行需求在各类列车的客流分摊，构建以票价收益最大化为目标的列车差异化票价与票额优化模型，并设计模拟退火算法进行求解以获得合理的高铁列车差异化票价及其分配票额。1高铁列车差异化定价问题分析
考虑由L个车站、L−1个区间构成的复线高速铁路线路，基于该线路当前实施的列车时刻表便可事先确定任意车站间旅客可选服务列车集、以及各服务列车出行服务属性值，如旅行时间等。记OD(r,s)之间旅客可选服务列车集为Ωrs。显然，对于其中任意列车f∈Ωrs，其均应在车站r与s停车。
列车时刻表规定运行的每一列列车通常同时能够服务多个客流OD，且为不同客流OD之间的旅客所提供的出行服务水平也存在差异。记列车f 为OD(r,s)旅客出行服务提供的旅行速度为f rs v，出发时刻为f rs
d，到达时刻为f rs a，停站次数为f rs w，列车舒适度为f rs
o。
同样，任意OD之间出行旅客可选服务列车集中每一列列车的出行服务质量通常也存在差异。理论上，针对任意OD(r,s)，可为其服务列车集Ωrs中不同服务质量列车确定不同票价水平，但方便实施起见，可首先基于时刻表规定的各列车在列车OD(r,s)之间提供的服务水平对Ωrs中所有列车进行分类，然后
对同一类服务水平列车制定相同票价，减少差异化票价实施数量。假设通过基于列车服务水平对集合Ωrs中列车进行分类(具体分类方法，将在第2节中介绍)后，为OD(r,s)的旅客获得N rs类服务列车。
记客流OD(r,s)之间旅客总出行需求量为D rs，该OD各类服务列车出行需求量受其服务水平、票价水平的影响。OD(r,s)之间的第n类列车的客流需求可以描述为其票价以及服务水平的函数，记为
n
rs
D，对于给定各类列车服务水平与票价水平，各类列车出行需求量确定方法详见第3节。
本文旨在结合各OD间各类服务列车出行需求量关于其票价水平之间变化关系，以最大化铁路运输企业票价收益为目标，优化确定各OD之间各类服务列车票价水平、及其各列车票额分配量。记决策变量n rs
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p表示OD(r,s)之间第n类列车票价，决策变量n rs
g表示第n类列车分配给OD(r,s)旅客的票额量。
对该问题的研究基于以下假设：
A1不考虑一等座及商务座的售卖情况；
第4期周文梁，等：高铁列车差异化票价与票额协同优化
871
A2不考虑旅客退票改签等行为且各列列车在各个OD 的服务水平不变。
2基于服务差异的OD 服务列车聚类
针对任意列车OD 间所有服务列车，在选取并计算列车服务水平衡量指标的基础上，采用层次聚类法对服务列车聚类以确定各列车在OD 间不同服务等级列车。各项指标及其量化方法如下。
1)出发与到达时刻旅客偏好度：用于衡量旅客实际出发(到达)时段与其期望的出发(到达)时段发生偏差而导致的满意程度，可通过SP 调查方法分析确定。
2)列车旅行速度和列车停站数：此2项服务指标可根据列车时刻表中规定的列车车站到发时刻以及是否停站来确定。
3)列车舒适度：可采用文献[13]所提出的旅客疲劳恢复时间对列车舒适度指标进行衡量，疲劳恢复时间可由旅客疲劳恢复度函数进行确定，即
1f
f rs
f o rs t f T o e
-=
+ϕδ(1)
其中，f
rs o 表示从r 站前往s 站的旅客乘坐列车f 的
疲劳恢复时间；o T 表示最大恢复疲劳时间，通常可
取15h ；f rs t 表示列车f 在OD(r ,s )的旅行时间；f δ和
f ϕ分别为关于列车f 的待定参数，对于和谐号、复兴号列车，2参数分别为(59,64.5)和(0.29,0.283)。
层次聚类法是一种对给定的数据集进行层次分解，将数据样本形成一颗聚类树的聚类方法，采用该方法实现各列车OD 服务列车层次聚类步骤如下。
步骤1：将以上列车服务水平衡量指标作为聚类特征，同时逆向指标列车停站数指标进行正向化处理，并采用z -score 归一化方法消除各聚类特征间量纲的差异性。
步骤2：设定聚簇合并次数m ，即选择需要的列车出行服务等级数量。
步骤3：将OD(r ,s )的每类服务列车作为一个聚簇，此时每个聚簇仅有一列列车，采用以下公式计算聚簇间的相似度(欧氏距离)。
,'f f rs l =(2)
此时在OD(r ,s )间若共有F rs 列开行列车，则可构成F rs 阶相似度矩阵。
步骤4
：计算两两聚簇的服务相似度，将服务相似度最大的2个聚簇合并形成一个新的聚簇。
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步骤5：采用类平均法度量合并后所得到的新聚簇与其他聚簇所含列车间的服务相似度。
nn D '=
(3)
其中：nn D '为OD(r ,s )中列车类n 和n ′之间相似度；
n
rs
N 为OD(r ,s )的第n 类服务列车数量；f 表示列车类n ′中区别于f 的另一列车。
四川九寨沟风景区步骤6：重复步骤4和步骤5，直至合并次数
到达所设定的聚簇合并次数m 或聚簇数已到达1时，停止聚类，得到聚类数量和各聚类所包含列车。
步骤7：对聚类结果进行评估，若各类之间的平均服务水平过于接近则调整聚簇合并次数m ，转至步骤3，直至满意为止。
3弹性客流服务列车选择
为了定量描述在其它服务参数不变前提下，客流OD 需求量与票价水平之间的变化关系，按以下方法构建价格弹性需求函数：首先，从铁路预售票系统中的售票数据统计高速铁路客流OD 间列车票
价0rs p ，以及在此票价下的客票销售量0
rs D ，将两者
分别作为弹性需求函数中基准票价与基准需求量，在实际应用中为提高方案的鲁棒性，可将一周或一个月的平均票价及平均客票销售量作为基准数据。在此基础上，通过引入客流OD(r ,s )的票价弹性系数
rs θ构造如下票价弹性需求函数。
()()
rs rs rs
p p rs rs rs
D p D e
-
⨯-=
⨯θ(4)
其中，()rs rs D p 表示当客流OD(r ,s )间高铁列车平均票价为p rs 时的客流出行需求量。在对OD 服务列车分类、差异化定价下，客流OD(r ,s )间服务列车平均票价可表示为各类服务列车票价与其数量的加
铁道科学与工程学报2021年4月
872权平均值。
(
)1
/rs
N n
n rs rs
rs
rs
n p N p F
==
⨯
∑(5)
给定OD 间出行需求量、以及各类服务等级服务列车，采用多项Logit 模型确定各类服务等级列
车客流分担量。记n
rs D 为OD(r ,s )间第n 类服务等级
巫溪县
列车分担的客流量，具体表示为
()1
/
rs
n n rs
rs
N u u n
rs
rs rs n D D p e
e '
'==⨯∑
(6)
其中，OD(r ,s )第n =1,2,…,N rs 类服务列车提供的出
行效用为 n
rs u ，该效用值取决于该类列车在OD(r ,s )
之间提供的平均旅行速度、舒适度等，其计算公式为
,1
,;1,2,,J
n n rs
j j rs rs
j u w r s n N ==
∀=∑
α, (7)
其中，αj 为第j =1,2,…,J 项指标的效用权重，效用权重可根据SP 调查中旅客对各项效用计算指标的敏感程度确定，,n j rs w 表示列车OD(r ,s )的第n 类列车的第j 项指标的效用值，,n j rs w 在聚类划分服务等级时计算得到。
当OD 某类服务等级列车分配票额少于需求，同时其它服务等级列车存在剩余票额时，该类服务列车的部分溢出客流(客流需求与分配票额数的差值)将转向选择其他服务等级列车出行。记
n
rs
d ∆为
OD(r ,s )第n 类服务列车的溢出客流量，则可根据文献[14]所提出的基于效用差值与转移客流量成反比的转移原则，按如下方程组确定其中转向选择其他各类服务列车的客流量比例。
1
1
rs
N rs
→==∑γ
μγ
γ
β(8)
,rs rs rs rs rs
rs rs rs e e e e e e →→→→''
'∆-==∆-μγμγμγμγμγμγββ1,2,,,1,2,,rs rs N N == γμ
γ
μ(9)
其中，rs →μγ
β表示OD(r ,s )中溢出客流列车类μ的溢出客流转入接收客流列车类γ的比例，rs e →∆μγ为OD(r ,s )间第μ与第γ类服务列车的效用差值，rs N γ为OD(r ,s )的接收客流列车类数，rs N μ为OD(r ,s )的溢出
客流列车类数。
综上所述，对于OD(r ,s )间第n 类服务列车，当
其通过式(6)分配的需求量n rs D 低于分配票额量n
rs g ，
其分担客流量应在Logit 模型分配客流量n
rs D 的基
础上加上转入客流量，即
()
()()
1
,rs
N n n n n n n rs rs rs rs rs
rs rs
澳门读大学后悔了D p g D p d
→==+∆⨯∑ μ
μγμβ(10)
其中，()
,n n n rs rs rs D p g 表示修正后接收客流列车类的客流需求，而修正后的溢出客流列车类的客流需求等
于分配给该类的票额数。
4
高铁列车差异化票价与票额协同
优化模型
各类列车票价由客流需求直接影响，而客流需
求与分配票额量共同决定了售票量，各类列车不同票价对应着不同票额分配方案，票价与票额的协同性体现在当追求最优客票收益时不同的票价方案会得到与之配合协同的票额分配方案，因此各类列车票价与分配票额量应结合相应的客流需求程度进行协调优化，以充分利用列车运输能力的同时，尽可能增加铁路企业客票收益。模型选择以最大化铁路企业客票总收益z 为优化目标，即：(){}
1
111
max min ,,rs
N L L
n n n n n rs rs rs rs rs
r s r n z p D p g g -==+==
⨯∑∑∑
(11)
模型同时使得列车票价与票额选择满足以下约束：
1)不同服务等级列车票价取值约束
因OD(r ,s )之间每类服务列车具有不同等级的出行服务水平，通常而言，要求高服务等级列车票价水平不得低于低服务等级列车票价水平，故应满足
1,,;1,2,,1
n n rs rs rs p p r s n N +∀=- ≥(12)
需说明的是在对OD(r ,s )之间服务列车进行聚
类分析确定的N rs 类列车已按服务等级由高到低排序，即第n 类列车服务等级高于第n +1类列车。
2)票价的上下限约束
每类列车票价选择一方面应不低于某一下限值，以保证铁路运输企业的基本收益；另一方面，应不超过政府市场指导价规定的上限值，故应满足
min max ,,;1,2,,n rs rs rs rs p p p r s n N ∀= ≤≤(13)
第4期周文梁，等：高铁列车差异化票价与票额协同优化873
其中，min max
,rs rs
p p 分别表示OD(r ,s )的定价下限与政府指导价规定的上限。
3)分配票额的列车能力约束
对于列车f 的任一经由区间(,1)l l +，覆盖该区间的票额总数，即起点在车站l 及其前、终点在车站l +1及其后的票额数量不应超过列车f 的运输能力C f ，即
11
;,1,,1l
L
f
rs f f f f r s l h
C f l o o d ==+∀=+-∑∑ ,≤(14)
其中，o f 与d f 分别表示列车f 的起点站与终点站；f
rs h 表示列车f 分配给OD(r ,s )的票额数， n rs Ω为OD(r ,s )
之间列车类n 的旅客可选服务列车集。对于集合n rs
Ω中服务列车分配给OD(r ,s )的总票额数满足：
,;1,2,,n rs
f
n rs rs rs
f h
g r s n N ∈Ω=∀=∑ ,(15)
5算法设计
本文所提出的基于列车服务水平的票价票额组合模型维度较多且规模较大，现有的优化软件很难对其直接进行求解。模拟退火算法作为一种较为成熟的启发式算法，它对多维变量问题适应性强的特点较为适合本文模型，故采用此算法进行模型求解。
首先结合模型约束(12)与(13)随机生成初始可行票价解S ，在此基础上由式(4)计算各OD 间出行需求总量，并采用式(6)给出的Logit 模型确定各类服务列车的分配客流量。此时，模型(11)～(15)转换
为仅含票额决策变量n
rs g 的整数规划模型，即目标
函数简化为式(16)，而约束为式(14)及式(15)。
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{}
1111
max min ,rs
N N N n
n n
rs rs rs
r s r n z p
D g -==+==
⨯∑∑∑(16)
转换后的规划模型因决策变量与约束较少，可直接由Cplex 软件进行求解，得到当前票价解S 下最优的列车票额分配方案，并利用式(10)修正各类服务列车客流分担量，并由此计算相应的客票总收益。其中，当前解的邻域解借鉴文献[15]中提到的VFSA 算法给出。
模拟退火算法的具体步骤如下所示：1)初始参数设置。设置初始温度T 0，终止温
度T end ，降温系数ε。在约束(12)及约束(13)的限制下随机生成各类列车初始票价方案S 0。令T =T 0，S =S 0，给定各T 时的迭代次数上限为U max 。设当前温度迭代次数U s =0，温度下降步数R =0，当前最优解S Best =S 0。
2)基于票价解S 及其他服务水平指标通过Logit 模型确定各OD 中各列车类的客流需求。运用Cplex 软件对模型进行求解得到该票价方案下的最优票额分配方案。
3)计算转移客流量从而对各OD 各列车类的客流需求进行调整，并得到优化的铁路客票总收益z 。
4)根据式(17)及当前解S 生成新的票价决策变量S 1。
5)若S 1满足优化模型约束(14)及约束(15)，则重复步骤2)和步骤3)得到z ′及其与z 的差值Δz ；否则转至步骤4)。
6)根据Metropolis 准则判断是否接受新解。当0z ∆<；时，接受新解S 1，即有1S S =；0z ∆>时，
计算S 1的接受概率exp(/)z T ∆，当exp(/)z T ∆>random(0,1)时，1S S =；否则保留当前解S 。
7)比较z 与z Best ，当Best z z >时，Best ,0S S pb ==；否则保留当前最优解S Best 。
8)s s 1U U =+，当s max U U >，结束该状态，0l U =并转至步骤8)，否则转步骤4)。
9)降温。11,,1R R R T e T T T R R -++===+ε。10)终止检验。当end T T <，输出当前最优解Best S 及对应的Best z 并结束程序，否则转至步骤4)。
6算例分析
本文采用长沙—广州方向的高速铁路线路列车时刻表及基础客流数据并选取该线路上客流较大的5个区段，6个停靠站共计15个OD 进行研究，停靠车站及各客流OD 的客流量和初始票价参考客票销售数据，票价的上限与下限分别取该OD 原始票价的125%以及50%。
将在该线路上运行的113列高速铁路列车作为研究对象，设每列列车在每个区段的最大载客能力为600，进行客流分配时的列车服务水平指标的权重取值由SP 调查获得。
