2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，2{|6}N x y x x ==+-，则(M N = )
A ．{|23}
x x -<<B ．{|23}
x x -< C ．{|23}
x x -< D ．{|33}
x x -< 2．（5分）设复数z 满足(2)5z i +=，则||(z i -=)
A ．2
B ．2
C ．22
D ．4
3．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A ．
5
16
B ．
1132
C ．
716
D ．
13324．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的()
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数21()||
x f x x -=的图象大致为(
)
A ．
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B．
C．
D．
丽江到西双版纳6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是9
5，则()
A．6
a=B．5
a=C．4
a=D．7
a=
7．（5分）3
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7 1
(3)
x
x
+展开式中的常数项是()
A．189B．63C．42D．21
8．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()
A3πB3C．3πD．4π
9．（5分）已知变量x，y满足约束条件
6
32
1
x y
x y
x
+
⎧
⎪
--
⎨
⎪
⎩
，若目标函数(0,0)
z ax by a b
=+>>的
最小值为2，则13广东中旅广州旅行社
a b+的最小值为()
A．23
+B．526
+C．815
+D．3
10．（5分）已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的右焦点为F，过点F作圆222
x y b
+=的切
线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()
A．1
2B．2
2
C．2
3
D．6
3
11．（5分）设||10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有|2|8AP AB λ-
，则一定
正确的是()
A ．||5
PA B ．||10
PA PB +
C ．9
PA PB -
D ．90APB ∠︒
12．（5分）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是()
A ．(2-，0)(0⋃，2)
B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞
C ．(2-，0)(2⋃，)
+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程为y =，若其右顶点到
，则双曲线方程为．
14．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,3π单调增加，在4(,2)3
π
π单调减少，则ω=
．
蓬莱旅游景点介绍15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是中国在南海又收回八个岛礁
．
16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用(,)a i j 表示第i 行从左数第j 个数，如(5,2)11a =，则(41,18)a =
．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．
17．（12分）已知ABC ∆外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．（Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）若b =，2c =，求sin A 的值．
18．（12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；
（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --等于45︒？若存在，请出点F 的位置；若不存在，请说明理由．
19．（12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1k +次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为 P =
．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；
（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
