上海市曹杨第二中学2021届高三下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．21lim 1
n n n →∞+=-_____2．不等式
01x x <-的解集为_____．3．已知复数z 满足234i(i z =+为虚数单位），则||z =_____． 4．某校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的的频率分布直方图，根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：_____ ．
5．若,x y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值是________．
6．从1,2,3,4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_____．（结果用数值表示）
7．6
21(1)x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_____．8．已知,a b R +∈，若直线()1210a x y -+-=与直线70x by ++=互相垂直，则ab 的最大值等于___________. 9．若3sin()cos cos()sin 5
x y x x y x ---=，则tan 2y 的值为________10．已知函数()2lg(100)x g x x =++，定义在(1,1)-上的函数()f x 满足
()()()2f x g x g x =--+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为_____．
11．设双曲线22214x y b
-=（0b >）的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 分别与双曲线
左，右两支交于M ，N 两点，且2222,F M F N F M F N ⊥=，则双曲线的半焦距c =_____．
12．已知平面向量1e 、2e 是不共线的单位向量，记1e 、2e 的夹角为θ，若平面向量a 满足12a = ，且对于任意的正实数k ，1214
a e ke -+≥ 恒成立，则cos θ的最大值为___________.
二、单选题
13．直线121x t y t =+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）的倾斜角为（）
A ．π
6B ．π
四川成都景点
3C ．1
arctan 2D ．arctan 2
14．已知直线l 和两个不同的平面,αβ，则下列结论正确的为（
）A ．若//,//l l αβ，则//αβ
B ．若,l αβα⊥⊥，则l β
⊥C ．若//,l l αβ⊥，则αβ
⊥D ．若,//l αβα⊥，则l β
⊥15．定义在R 上的函数()f x ，若()(||)|()|g x f x f x =-，有下列两个结论：①若()f x 是偶函数，则()g x 是奇函数;②若()f x 是偶函数，则()g x 是偶函数，则（
）A ．①②均正确
B ．①②均错误
C ．①对②错
D ．①错②对
16．已知数列{}n a 满足2112,n n n a a a a +==+，设1212333111m m m a a a S a a a =
++++++ ，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（
）A ．672B ．673C ．674D ．675
三、解答题
17．
如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，//EB PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点.
(1)求证:AF PC ⊥;
(2)求二面角D PC E --的大小.
18．已知0a >且1a ≠，函数()()1log (1),log 1a a
f x x
g x x
=+=-，记()()()2F x f x g x =+.（1）求函数()F x 的定义域D 及其零点；
（2）若关于x 的方程()0F x m -=在区间[0,1)内仅有一解，求实数m 的取值范围.19．如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60 的公路,AB AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内修建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米），记AMN θ∠=. （1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；
（2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？
20．已知椭圆22:184
x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C .
非洲地形图
(1)已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程；
(2)证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;
(3)求线段AC 长的取值范围.
21．已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足()12
n n n S +=
.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n a 禳镲睚镲铪
的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2n ≥，*n ∈N 时()11n n R n T -=-；
（3）已知当*n ∈N ，且6n ≥时有1132n m
m n ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，其中1,2,,m n = ，求满足()()3423n n a
n n n n a ++++=+L 的所有n 的值.
答案第1页，共13页参考答案：
1．2【详解】122120lim lim 2.11101n n n n n n →+∞→+∞+
++===---2．(0,1)【分析】将不等式01
x x <-化为()10x x -<，即可得答案.【详解】由题意得不等式
01x x <-即()()10,0,1x x x -<∴∈，即不等式01
x x <-的解集为(0,1)，故答案为：(0,1)
3
【分析】根据复数的乘法运算求解即可.
【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 34i z a b ab =-+=+，
所以22324
a b ab ⎧-=⎨=⎩解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2i z =+或2i z =--
白鹅潭大湾区艺术中心，所以||z ==故答案为
三山岛农家乐:
4．140
【分析】求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，即可求得答案.
【详解】由频率分布直方图得：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为:(0.020.10) 2.50.71+⨯-=，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为：2000.7140⨯=，
故答案为：140.
5．3；
【详解】画出可行域，如下图阴影部分，其中(1,1),(1,0),A B 令0z =，则20x y +=，为经过坐标原点得到直线，将此直线向右上方平移，当经过点(1,1)A 时,2z x y =+有最大值3.
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