1 数学建模入门
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1.1实验目的与要求
数学建模入门，体会数学建模的意义，学会换角度思考问题。 1.2 基本实验
依照1.2.1节中的“椅子问题”的方法，将假设中的“四腿长相同并且四脚连线呈正方形”，改为“四腿长相同并且四脚连线呈长方形”，其余假设不变，问椅子还能放平吗？如果能，请证 明；如果不能，请举出相应的例子。
解答:
一、模型假设
对椅子和地面在符合日常生活的前提下，做出如下假设：
（1）椅子：四条腿长相同，并且四脚的连线呈长方形。
（2）地面：略微起伏不平的连续变化的曲面。
（3）着地：点接触，椅子在地面任意位置至少有三只脚同时着地。
上述假定表明长方形椅子是正常的，排除了地面有坎以及有剧烈升降等异常情况。
二、模型建立
在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。
首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动,通常有拖动或转动椅子两种办法把椅子放稳，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中到一种椅子能放稳的情形。
注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D广州南站今天停运消息1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置。
用θ表示椅子旋转后的位置
其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的连续函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的连续函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数。而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了。因此，设A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。
建立数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f（θ）g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。
三、模型求解
如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。
如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f（0）。而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。定义h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。 又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数的零点定理，必存在θ0 ∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0）；又因为f（θ0）g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。即，椅子的四只脚同时着地。
依照1.2.2节“商人安全过河”的方法，完成下面的智力游戏：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，之多能载猫、鸡、米之一，而当人不在场时，猫要吃鸡、鸡要吃米。试设计一个安全过河的方案，并使渡河的次数尽量地少。
解答：
本问题与“商人过河”问题类似，均为状态转移问题，即经过有限次的合理的转移，将初始状态（人，猫，鸡，米）在此岸，转变为最终状态（人，猫，鸡，米）在彼岸。 我们将人，猫，鸡，米在岸上的情况，依次用四维向量S表示，即S（人,猫,鸡,米），并将这些向量称为状态，则第k次渡河前的状态记为。
当一物在此岸时，相应分量记为1，在彼岸时记为0。例如（1，1，1，1）表示它们都在此岸，（0，1，1，0）表示猫和鸡在此岸，人和米在彼岸。由于问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些状态是不允许的。安全渡河条件下的状态称为允许状态。对本问题而言，允许状态集合为：
S=﹛(1,1,1,1），(1,1, 1,0），(1,1,0,1），（1,0,1,1），（1,0,1,0）,（0,0,0,0），（0,0,0,1），（0,0,1,0），（0,1,0,0）,（0，1，0，1）﹜。
我们将人，猫，鸡，米在船上的情况，依次用四维向量D表示，即D（人,猫,鸡,米），并将这些向量称为决策,则第k次渡船运载的决策记为。
当一物在船上时,相应分量记为1，否则记为0。例如（1，1，0，0）表示人和狗在船上，即人带狗过河。本问题的运算向量共有四个，即允许决策集合为：
主题乐园排名D={（1,1,0,0），（1,0,1,0），（1,0,0,1），（1,0,0,0）}
过河的方式有两种，过河次数为奇数时船从此岸划向彼岸，过河次数为偶数时船从彼岸划向此岸，所以则状态随决策变化的规律为
，
因此设计安全过河方案归结为求决策序列，使状态，按状态转移律由初始状态经步达到。
从而我们得到两个可行的等优方案如下：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| (1,1,1,1) | (0,1,0,1) 豫园股份股吧 | (1,1,0,1) | (0,1,0,0) | (1,1,1,0) | (0,0,1,0) | (1,0,1,0) | (0,0,0,0) |
| (1,0,1,0) | (1,0,0,0) | (1,0,0,1) | 在哪里看(1,0,1,0) | (1,1,0,0) | (1,0,0,0) | (1,0,1,0) | |
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