湖南省长沙市长郡中学2022届高三数学下学期第一次适应性考试（一模）试题 理（含解析）
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。
【详解】因为复数是纯虚数，
所以，解得：，
所以复数可化为，
所以复数在复面上对应的点的坐标为.
故选：D
【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。 2.已知集合若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。
【详解】由得：或.
所以集合.
由得：.
又，所以（舍去）或.
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。
3.美国总统伽菲尔德利用如图给出了种直观、简捷、易懂、明了的证明勾股定理的方法，该图利用三个直角三角形拼成了个直角梯形，后人把此证法称为“总统证法”.现已知，，若从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为（ ）
浙江哪里好玩景点排名自驾游A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据勾股定理，求得CE、DE的长，再求得等腰直角三角形CED的内切圆半径，根据几何概型概率求法求得点在△CDE内部的概率即可。 【详解】由勾股定理可得CE=ED=5
因为CE⊥ED，所以
等腰直角三角形CED的内切圆半径
所以等腰直角三角形CED的内切圆面积为
直角梯形的面积为
所以从该直角梯形中随机取一点，则该点也在的内切圆内部的概率为
所以选C
【点睛】本题考查了几何概型概率的求法，直角三角形内切圆半径及面积求法，属于基础题。
4.已知为锐角，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】一元门票旅游景点大全
因为，再根据同角三角函数关系及正弦的和角公式，展开即可求值。
【详解】因为为锐角
因为
所以大于90°
由同角三角函数关系，可得
所以
=
所以选D
【点睛】本题考查了三角函数式的变形，和角公式的应用，注意判断的符号，属于中档题。 5.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的海南省三亚市房价最新消息的值满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据流程图，依次算出x、y的值，直至满足大于等于，再求得x与y的关系即可。
【详解】根据输入，代入流程图得
此时，
所以满足
所以选C
【点睛】本题考查了程序框图循环结构的应用，数列中裂项法求和的应用，属于中档题。
6.已知命题数列的通项公式为 为实数，，且恒为等差数列；命题数列的通项公式为 时，数列为递增数列.若为真，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列与等比数列的通项公式和定义，可分别求得满足各自条件的a取值范围，再由为真可求得a的取值范围。
【详解】因为台湾旅游景点图片大全的通项公式为，且恒为等差数列
所以由等差数列通项公式可得a=0
因为数列的通项公式为 时，数列为递增数列
所以由等比数列及递增数列可知
又因为为真
所以a的取值范围为 ，即实数的取值范围为
所以选B
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的定义及参数取值范围的求法，属于基础题。
7.已知函数，则定积分的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据积分定义，将积分区间分为两段分别求：左段可根据微积分基本定理求得积分值，右段根据几何意义求得积分值，两个部分求和即可。
【详解】因为
所以
的几何意义为以为圆心，以为半径的圆，在x轴上方的部分
因而
所以
所以选A
【点睛】本题考查了积分的求法，微积分基本定理的应用及利用几何法求积分值，属于中档题。
8.函数某相邻两支图象与坐标轴分别变于点，则方程所有解的和为（ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点可求得，从而得到，求出函数及的对称点，从而发现它们都关于点对称，在同一坐标系中，作出与的图像，结合图像即可求解。
【详解】由函数某相邻两支图象与坐标轴分别交于两点，可得：.解得：.
所以
将代入上式得：=0，解得：=，
又，所以.
所以.
令=，则
所以的图像关于点对称。
令，且=，
解得：.
所以的图像关于点对称.
所以函数与的图像关于点对称.
在同一坐标系中，作出与的图像，如图：
由图可得：函数与的图像在上有两个交点，这两个交点关于点对称.
所以方程有且只有两个零点，且 .
所以方程所有解的和为：.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了三角函数图像以及三角函数性质，考查了转化思想及方程思想，考查计算能力，属于中档题。
9.已知某长方体的三视图如图所示，在该长方体的一组相对侧面，上取三点，其中为侧面的对角线上一点（与对角线端点不重合），为侧面的一条对角线的两个端点.若以线段为直径的圆过点，则三亚深度游自由行攻略的最小值为( )
A. B. C. 4 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知，当P位于对角线的中点时，P到AB的距离最短，此时m的值最小。根据勾股定理及等腰直角三角形的边关系可求得m的值。
【详解】由题意可知，当P在对角线中点时，以AB为直径的圆过P时m的值最小
空间结构体如下图所示
以AB为直径的圆过P，此时∠APB=90°，所以
即
解得
所以选B
【点睛】本题考查了空间几何体的简单应用，属于基础题。
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线与双曲线交于纵坐标为1的点，直线与抛物线的准线交于，若，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，求得M的坐标和抛物线的准线方程，进而求得N点的横坐标。根据向量共线的坐标关系，可解方程得c，再由双曲线定义得a、b，即可求得双曲线的标准方程。
