长沙市第一中学2022-2023学年度高二第二学期期中考试
数 学
时量：120分钟
满分：150分
得分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设1z i =+（其中i 为虚数单位），则1
z
=
A ．
1122
i +
B ．1122
i -
+ C ．11
22
i -
-
D ．
1122
i - 2．已知()22x x f x a -=+⋅为奇函数，则()1f 的值为 A ．32 -
B ．1
C ．
32
D ．
52
3．已知{}n a 是等比数列，且20a >．若354a a =，则4a = A ．±2
B ．2
C ．－2
D ．4
4．已知圆锥的侧面积为1S ，底面积为2S ，底面半径为r ，且122S S =，若底面半径同为r 且体积与圆锥相等的圆柱高为h ，则
h r
=
A ．
12
B ．
3
C
D ．2
5．已知P 是边长为2的菱形ABCD 内一点，若120BAD ︒∠=，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,4-
B ．()2,2-
C ．()2,4
D ．()4,2-
6．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数 2.71828e ≈．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求2不排第一个，两个8相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为 A ．30
B ．32
C ．36
D ．48
7．如图，直线x t =与函数()4log f x x =和()4log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ，若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得△ABC 为等边三角形，则t 的值为
A 3
B 33
C 3
D 33
8．在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ．以下各曲线：①22
132
x y +=；②()2
2
22x y ++=；③2
2y x =；④2北京人都不去的地方
2
1x y -=中，存在两个不同的点M ，N ，使得
MA MB =且NA NB =的曲线是
A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①③
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的有
A ．数据4，7，6，5，3，8，9，10的第70百分位数为8
B ．线性回归模型中，相关系数r 的绝对值越大，则这两个变量线性相关性越强
C ．回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越大，拟合效果越好
D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据计算得到2
3.218χ=，依据0.05α=的独立性检验（0.05 3.841x =），没有充分证据推断原假设不成立，即可认为X 与Y 独立天鹅堡
10．已知O 是平面直角坐标系的原点，抛物线C ：
2
14
y x =的焦点为F ，()11,P x y ，()22,Q x y 两点在抛物线C 上，下列说法中正确的是 A ．抛物线C 的焦点坐标为1,016⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．若5PF =，则42OP =
C ．若点P 的坐标为()4,4，则抛物线C 在点P 处的切线方程为4y x =-
D ．若P ，F ，Q 三点共线，则124x x =-
11．已知函数()sin cos f x x x =+，则下述结论正确是 A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 的周期是π
C ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称
D ．()f x
的值域为⎡-⎣
12．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，则下列说法正确的是 A ．()f x 在()0,+∞上单调递减
B ．()f x 恰有2个零点
C ．若12x x ≠，()()120f x f x -=，则121x x -≤
大地数字影院D ．若120x x >>，()()120f x f x +=，则121x x =
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数(
)()ln 1f x x =
+-的定义域为 ． 14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是面1111A B C D 和面11AA D D 的中心，则EF 和CD 所成角的大小是 ．
15．德国数学家高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行12100++
+的求和运算时，就提出
了倒序相加的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．已知某数列通项12202222022
22023
n n a a a a n -=
++
+=- ．
16．已知函数()()()2
2,0,0
x
a x x x f x e ax x ⎧-+=⎨
->⎩
≤．
（1）若0a =，则()1f x >的解集为 ； （2）若关于x 的不等式()0f x ≥的解集为[)2,-+∞，则实数a 的取值范围
为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
等差数列{}n a 满足26a =，4527a a +=．等比数列{}n b 为递增数列，且1b ，2b ，
{}32,3,4,5,8b ∈．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）删去数列{}n b 中的k a b 项（其中1k =，2，3，…，保持剩余项的顺序不变，组成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前10项和10T ． 18．（本小题满分12分）
在四边形ABCD 中，AB CD ∥，1AD BD CD ===． （1）若3
2
AB =
，求BC ； （2）若2AB BC =，求cos BDC ∠． 19．（本小题满分12分）
受新冠病毒感染影响，部分感染的学生身体和体能发生了变化．为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查．调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9：6：5，用样本的频率估计总体的概率． （1）从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率； （2）假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X （单位：小时），且(
)2
5.5,X N σ
～．现
从这三个年级中随机抽取3名学生，设这3名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为Y ，求随机变量Y 的期望． 20．（本小题满分12分）
长沙周边旅游景点推荐如图，在三棱锥D -ABC 中，AB BD ⊥，BC CD ⊥，M ，N 分别是线段AD ，BD 的中点，
2MC =，2AB =，23BD =，二面角D -BA -C 的大小为60°．
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（1）证明：△ABC 为直角三角形；
（2）求直线BM 和平面MNC 所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分） 已知函数
()cos x f x e x mx =+-，()0,x ∈+∞．
（1）若函数()f x 在()0,π上单调递减，求实数m 的取值范围；
（2）若21e m e ππ
哈尔滨旅游几月去最好-<<，求证：函数()f x 有两个零点．（参考数据：2 4.81e π
≈，
23.14e π
≈） 22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，()3,0M -，()3,0N ，P 为曲线E 上一点，直线MP ，NP 的斜率之积为5
9
-
． （1）求曲线E 的标准方程；
（2）过点()2,0F 作直线l 交曲线E 于A ，B 两点，且点A 位于x 轴的上方，记直线MB ，NA 的斜率分别为1k ，2k ． （ⅰ）证明：
1
2
k k 为定值； （ⅱ）过点B 作BC 垂直x 轴交曲线E 于不同于点A 的点C ，直线AC 与x 轴交于点D ，求△ADF 面积的最大值．
