马鞍山市重点中学2022-2023学年度高一第二学期期中考试
数学试卷
（时间：120分钟 满分：150分）
凤凰山在什么地方注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填涂在答题卡指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，用0.5mm 黑签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．复数12i z =-+，则z =（ ） A ．12i -
B ．12i +
C ．12i -+
D ．12i --
2．已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5 3．已知边长为3的正方形ABCD ，点
E 满足2DE EC =，则AE AC ⋅等于（ ） A ．6
B ．9
C ．12
D ．15
4．在△ABC 中，cos C =2
3
，
AC =4，BC =3，则cos B =（ ） A ．19
B ．13
C ．12
D ．23
5．一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东35︒的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东65︒，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东70︒，那么B ，C 两点间的距离是（ ） A ．103海里 B ．203海里 C ．102 海里 D ．202海里 6．已知向量，若a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
（ ） A ．5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．5,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
C ．5,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
威海十大网红免费景点D ．()5,00,3⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－1
4
，
则b
c
=（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
8．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点A 为圆心的单位圆上．若
(),R AP AB AD λμλμ=+∈，则λμ+的最大值为（ ）
A ．3
B ．5
C ．52
D ．2
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
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9．已知向量()()()2,13,21,1a b c =-=-=，
，，则（ ） A ．//a b B ．()
a b c +⊥ C ．a b c +=
D ．53c a b =+江阴论坛
10．若复数z 满足()12i 8i z -=-，则（ ） A ．z 的实部为2 B ．z 的模为13
C ．z 的虚部为2
D ．z 在复平面内表示的点位于第四象限 11．在ABC 中，AB c =，BC a =，CA b =，下列命题为真命题的有（ ） A ．若a b >，则sin sin A B >
B ．若0a b ⋅>，则AB
C 为锐角三角形 C ．若0a b ⋅=，则ABC 为直角三角形
D ．若(
)(
)=0，则ABC 为直角三角形
12．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，若3a =3
A π
=
，则（ ）
A ．1R =
B 32b <
C ．bc 的最大值为3
D ．223b c bc ++的取值范围为(]11,15
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位
置．）
13．已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=________．
14．ABC 的内角A ,B ,C 的对边α,b ,c ，已知30B ︒=,3b =,3c =，则A =________. 15．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN ．现选择点A 和另一座山顶点C 作为测量观测点，从A 测得点M 的仰角45MAN ∠=︒，点C 的仰角30CAB ∠=︒，测得75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，已知另一座山高400BC =米，则山高MN =_______米．
16．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3
cos 5
A =，若ABC 的面积为2，则当ABC 的周长取到最小值时，
b
a
=______．
四、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每小题12分，共70分．解答题应写出文字说明、
演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．） 17．已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；
(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值.
18．已知：复数()2
2i
1i 1i
z =+++，其中i 为虚数单位． (1)求z 及z ；
(2)若223i z az b ++=+，求实数,a b 的值．
19．在ABC 中，sin 23sin C C =． (1)求C ∠；
(2)若6b =，且ABC 的面积为63，求ABC 的周长．
20．如图，已知ABC ∆中，D 为BC 的中点，1
2
AE EC =，AD BE ，交于点F ，设AC a =，AD b =．
（1）用,a b 分别表示向量AB ，EB ； （2）若AF t AD =，求实数t 的值．
21．在ABC 中，3
A π
=，2b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求
（1）B 的大小； （2）ABC 的面积．
条件①：2222b ac a c +=+；条件②：cos sin a B b A =．
22．在锐角△ABC 中，23a =，(2)cos cos b c A a C -=， （1）求角A ；
（2）求△ABC 的周长l 的范围.
参考答案：
1．D
【分析】根据共轭复数的概念即可确定答案. 【详解】因为复数12i z =-+，则12i z =--， 故选：D 2．D上海亲子游玩攻略必去的地方
【分析】先求得a b -，然后求得a b -.
【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以()2
2435-=+-=a b .北京环球影城开业时间
故选：D 3．D
【分析】数形结合知3AB AD ==，AB DC =，0AB AD ⋅=，22
33
DE DC AB ==，利用向量的加法法则及向量的数量积运算即可得解.
【详解】方法一：因为四边形ABCD 为边长为3的正方形，所以3AB AD ==，AB DC =，0AB AD ⋅=，因为2DE EC =，所以22
33
DE DC AB =
=， 则()()()()2
3
AE AC AD DE AB AD AB AD AB AD ⋅=++=++ 22
3
22
15AB AB AD AD =⋅++
=； 方法二：以D 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，因为2DE EC =，所以点E 为线段DC 上靠近点C 的三等分点，
则(0,0),(0,3),(3,0),(2,0)D A C E ，
因为(2,3),(3,3)AE AC =-=-，所以6915AE AC ⋅=+=.
