荆州中学2017届高三第三次质量检查
数学试卷(理 科)上海游泳馆
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项填在答题卡相应位置） 1.已知集合2{|30}A x R x x a =∈-+>，且2A ∉，则实数a 的取值范围是 （ ）
A ．(,2]-∞
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞-
D ．[2,)-+∞
2. 已知向量a 与b 的夹角为23
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，且||1,||2a b == ，若(3)a b a λ+⊥ ，则实数λ=（ ）
A ．3
B ．-3
C ．32
D ．3
2
-
3. 设0,0a b >>，则“2
2
1a b +≤”是“1a b ab +≤+”的
（ ）
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A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
4. 在ABC ∆中，已知024,30AB BC A ==∠=，则ABC ∆的面积为
（ ）
A ．1
B
C ．2
D
()(3)f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在
原点处的切线方程为
（ ）
A ．31y x =+
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B ．33y x =-
C ．3y x =-
D ．31y x =-+
6. 已知4
x π
=是()sin cos f x a x b x =+一条对称轴，且最大值
为，则函数()sin g x a x
b =+
（ ）
A ．最大值是4，最小值为0
B ．最大值是2，最小值为2-
C ．最大值可能是0
D ．最小值不可能是4-
7.在等差数列{}n a 中前n 项和为n S ，且201110072011,1S a =-=，则2012a 的值为 （ ）
A ．1007
B ．2012
C ．1006
D ．2011
8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
（ ）
A
B ．
12
C ．32
D
．
12
+ 9. 正方形的两个顶点是一双曲线的焦点，
1
1
1
1
1
另两个顶点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为（ ）
A
B
C
1
D
1
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10. 已知函数3()2
x e f x ax -⎧-=⎨-⎩(0)
(0)x x ≤>（a 为常数且0a >），对于下列结论
①函数()f x 的最小值为2-，②函数()f x 在R 上是单调函数，③若()0f x >在[1,)+∞上恒成立，则a 的取值范围为(2,)+∞，④当0x ≠时，()0xf x '>（这里()f x '是()f x 的导函数），其中正确的是三亚景区门票优惠政策
（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．①④
D ．③④
二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，第15题二选一，两题都做按第1题计分，共计25分。各题答案必须填写在答题卷相应位置上，只填结果，不要过程）
11．已知圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为 ． 12．抛物线28y x =的准线为l ，点Q 在圆22:68210C x y x y ++++=上，设抛物线上任意一点P 到直线
l 的距离为m ，则||m PQ +的最小值为 ．
13．若关于x 的不等于2|2||3|1x x a a ---≥++的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ． 14．用max{}a b 、表示a b 、两个数中的最大数，
设2
1()max{)2
f x x x =≥，那么由函数()y f x =的图象，x 轴、直线1
2
x =与2x =所围成的封闭图形的面积是 ．
15．A 如图，在ABC ∆中，DE ∥BC ，BE ∥DF ，若 4.3,1BC DE EF ===，则EC 的长为 ．
B 圆2cos ρθ=被极轴及直线()4
R π
θρ=∈所截取的面积
为
.
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分12分）
已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π
ωϕωϕ=+>><；的图象与y 轴交于(0,2)，它在y 轴右侧的第一
个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,4)x 和0(,4)2
x π
+
-
（1）求函数()f x 的解析式及0x 的值； （2）若锐角θ满足1
cos .3
θ=求()f θ. 17.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差大于0，且25,a a 是方程2
14400x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且*12()2
n
n b S n N -=
∈ （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若n n n C a b =，求数列{}n c 的前n 项和.n T
18.（本小题满分12分）
如图，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面
00.90,60.
ABC BAC ACD CDE EAC ∠=∠=∠=∠=.AB AC AE ==
（1）BC 的中点为P ，求证DP ∥面.EAB
（2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值.
19.（本小题满分12分）
已知函数2
()(44)x
f x x x e =-+
（1）试确定m 的范围，使得函数()f x 在(,]m -∞上是单调函数； （2）求()f x 在[0,4]上的最值. 20.（本小题满分13分）
已知中心在原点的椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点为1(3,0),(4,)(0)F M y y >为椭圆上
一点，1MOF ∆的面积为
3
2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A B 、两点，且以线段AB 为有经的圆恰好经过原点？若存在，求出l 的方程，若不存在，说明理由. 21.（本小题满分14分）
已知函数2()(2)ln .f x x a x a x =-++其中常数0a > （1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）当4a =时，给出两类直线：60x y m ++=与30x y n -+=，其中,m n 为常数，判断这两类直线中是否存在()y f x =的切线，若存在，求出相应的m 或n 的值，若不存在，说明理由.
（3）设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠若
()()
0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”
，当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由.
数 学 答 案
一、选择题
二、填空题
2
13.0a >或1a <- 14.3-
15.A 43
B
14
2
π
+
三、解答题
16.（1）依题意A ＝4
00()2
2
x x π
π
+
-=
()f x ∴的周期为π，
从而2ω= …………………………………………………… （3分） 由24sin(20)ϕ=⋅+及||2
π
ϕ<
得6
π
ϕ=
………………（4分）
()4sin(2)6
f x x π
∴=+
由026
2
x π
π
+
=
得06
x π
=
………………（6分）
（2）1cos 3θ=
(0,)2πθ∈ sin 3
θ∴= ………………（8分）
()4sin(2)4sin 2cos 4cos 2sin 666
f πππ
θθθθ=+=+
222cos2cos 4cos 2θθθθθ=+=+-
14
9
=
……………（12分）
17.（1）方程2
14400x x -+=的两根为4与10.
