上海市青浦区2020-2021学年高三第二次学业质量调研测试
数学学科 试卷
（时间120分钟，满分150分） Q2021.04
杭州到乌镇怎么去最方便一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.
1．已知集合(2,3)A =−，[]1,4B =−，则集合A B =____________． 2．已知i 为虚数单位，复数 z =则z z ⋅=____________． 3．已知三阶行列式124
14139
x −的值为0，则=x ____________．
4．已知△ABC 中，30,45,A B BC ===，则AC =____________．
5．已知函数()331x x a f x =+
+最小值为53，则a =____________． 6．92)21(x
x −的展开式中9x 系数是____________． 7．若从一副52张的扑克牌中随机抽取1张，放回后再抽取1张，则两张牌都是K 的概率 为____________．（结果用最简分数表示）．
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8．已知正三角形ABC 的边长为1，点D 在边BC 上，且13BD =，则AB AD =____________．
9．已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为F ，直线1y x =−与该双曲线交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为3 2−，则此双曲线的方程是____________． 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，则方程()0f x =在区间)6,0(内零点的个数的最小值是____________个．
11．已知直线1l y x =−+：与x 轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为
121,,,n P P P −，过这些分点分别作x 轴的垂线，与直线l 的交点依次为121,,,n Q Q Q −，从而得到1n −个直角三角形△11Q OP ，△212Q PP ，，△112n n n Q P P −−−，若这些三角形的面
重庆一日游攻略详细积之和为n S ，则lim n n S →∞
=____________． 12．已知函数()2,24161(),22
x a x x x f x x −⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈−∞，
满足()()12f x f x =，则实数a 的取值范围为____________．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
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13．已知,a b ∈R ，则“0a >且0b >”是
“a b +>
”的………………………………（ ）． （A ）充分不必要条件
（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
14．
下列点不在直线12x y ⎧=−−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
(t 为参数)上的是……………………………………（ ）． （A ）(1,2)− （B ）(3,2)− （C ）(2,1)− （D ）(3,2)−
15．点P 在直线1l y x =−：上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A 、B 两点，且PA AB =，则称点P 为“友善点”，那么下列结论中正确的是…………………………………（ ）．
（A ）直线上的所有点都是“友善点”
（B ）直线上仅有有限个点是“友善点”
（C ）直线上的所有点都不是“友善点”
（D ）直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”
16．已知函数()y f x =的定义域为R ，给出以下两个结论：
① 若函数()y f x =
的图像是轴对称图形，则函数(())y f f x =的图像是轴对称图形； ② 若函数()y f x =的图像是中心对称图形，则函数(())y f f x =的图像是中心对称图形． 它们的成立情况是…………………………………………………………………………（ ）．
（A ）①成立，②不成立 （B ）①不成立，②成立（C ）①②均不成立（D ）①②均
成
立 三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，已知圆锥的体积为π，底面半径OA 与OB 的夹角
2π
3
AOB ∠=，且OA =P 是母线BS 的中点． （1）求圆锥的表面积；
（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数2()cos 222
x x x f x =+ （1）求函数()f x 在区间[]0,π上的值域；
（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.
19.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛ ⎫=⋅− ⎪+⎝⎭
(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）. A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元)．
（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；
（2）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）．
20.(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知A 、B 分别是椭圆22
22:+1(0)x y C a b a b
=>>的左右顶点，O 为坐标原点，6AB =，点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
在椭圆C 上．过点()0,3P −的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线l 的倾斜角θ的取值范围；
（3）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．
21.(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知数列{}n a 为等差数列，且25a =，823a =．数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，12b =，且对任意正整数,s t 都有s t s t b b b +=⋅成立．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）求证：数列{}n b 中有无穷多项在数列{}n a 中；
（3）是否存在二次函数()f x 和实数a ，使得,(),(()),((()))a f a f f a f f f a 为数列{}n b 中
连续4项？若存在，请写出一个满足条件的
()f x 的解析式和对应的实数a 的值；若不存在，说明理由．
上海市青浦区2020-2021学年高三第二次学业质量调研测试
数学参考答案 2021.04
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一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1．[)1,3−；
2．13；
3．2；
4． 5．169； 6．2
21−； 7．1169
； 8．56； 9. 15
22
2=−y x ； 10. 7； 11． 14； 12. [
)
2,6−. 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. D ；14. B ； 15．A ；16. C .
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）13,1,23V Sh S SO SB π==∴==，，()
2π2π3πS =+⋅=+表 （2）取BO 中点H ，连接,PH AH SO ，与PA 所成角为APH ∠(或其补角)，
1
22
AH PH ==，an t APH ∠=，所以异面直线SO 与PA 所成角的大小为
．
