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［关
键词］扭结；琼斯多项式；HOMFLY 多项式
［中图分类号］O189
［文献标志码］A
［文章编号］2096-0603（2020）27-0100-02
浅谈琼斯多项式和HOMFLY 多项式
周倩竹（Qianzhu Zhou ）
（俄勒冈州立大学理学院College of Science /Oregon State University ）
本文的主要内容都来自于一本名为The Knot Book 的英文
版有关扭结理论的入门书籍。在这篇文章中，我们将了解两种与结有关的多项式，分别为：琼斯多项式（Jones Polynomial ）和HOMFLY 多项式（HOMFLY Polynomial ）。对于每个多项式，我都会分别解释其定义、规则和一些相关的示例。通过理解这些多项式，我们将学习如何使用这两种多项式得
出一些扭结的特征。
一、扭结的定义
纽约普拉茨堡州立大学的助理教授奎内尔将扭结定义为“扭结是关于打结后将末端拼接在一起的绳结的数学模型。也就是说，扭结基本就是嵌套在三维空间内的环”。其实在我们的日常生活中就有许多绳结的存在，比如打结的耳机线或者鞋带。将这些绳索抽象为三维空间内的闭合曲线，就是我们即将研究的扭结。 实际上，1987年日本数学家福原昌夫就提出：扭结是一条具有一定长度首尾相连的线，在该线上均匀分布着相同种类的电荷，因此该线将通过调整其自身形状达到总电荷最均衡的状态，这个状态被称之为扭结的拓扑不变量。他所提出的理论提供了人们研究绳结的方向，从而可以发现更多与结有关的多项式。 绳结的投影图是指其一维平面图。这种平面图由一些闭合曲线组成，且这些曲线需要满足以下三点要求：
1.重叠点的个数必须是有限的；
2.每个重叠点都只能是两条曲线相交的点，三条曲线不能在同一个点相交；
3.在每个重叠点处，上下曲线相互交叉。在绘制绳结的投影图时，为了方便理解，位于下方的曲线在重叠处需要有间断。投影的方向和角度对整个绳结的特征与性质没有影响。
在研究绳结时，人们经常关注的问题是：如果有任意两个扭结，如何识别这两个扭结是否客观相同。因此，关于扭结的疑问也可以表示为：通过一定的转换，不同的绳结的投影是否可以重合。接下来我讲述两个多项式：琼斯多项式和HOMFLY 多项式，其正是用来回答这个问题的。
二、琼斯多项式
琼斯多项式是定向链结的不变量，是以t √为变量的系数均为整数的布朗多项式，需满足以下三个公理：
1.两个等效的扭结具有相同的多项式；
2.没有结的绳结的多项式等于1；
3.三个链结L +，L -和L 0在规定区域内相同。这三个公理与其规则有一些相似之处。琼斯多项式是数学家沃恩·琼斯（Vaughan Jones ）于1984年建立的一个新多项式。沃恩·琼斯是新西兰人，他提出的琼斯多项式为结理论中的许多经典问题提供了解决方案。1990年，琼斯因发现琼斯多项式而获得了菲尔兹奖。
琼斯证明了一个（m ，n ）圆环的琼斯多项式为：
t （m -1）（n -1）
2
（1-t m +1-t n +1+t m+n ）/（1-t 2）.
琼斯所提供的证明是迄今为止唯一与之相关的证明，且这个依赖于代数的证明过程十分复杂。没有人到其他方法可以证明这个多项式。
北戴河景区门票价格在琼斯多项式中，令L +，L -和L 0为三个定向的链结投影，则
这三个投
示为
：
+-0
下边是琼斯多项式的一些规则：Rule1
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>=
Rule2
A
<A -1
<A >+A -1>Rule3-A 2-A ）<L >为了方便书写，这些规则也可以写成以下方式：规则1：V （0）=1；规则2：t -1
V （L +）-tV （L -）=（t 1
2
-t -12
）V （L 0）；
规则3：V （L ∪○）=cV （L ）=-（A 2
+A -2
）V （L ）=-（T 12
+T -
12
）V （L ）。
使用这三个规则，就可以计算与一些链结的琼斯多项式。比如，可以计算链结31（如图所示 ）的琼斯多项式。首先，我们需要将这个扭结解成不同的状态。由于该扭结有三个交点，因此我们可以将其分解为23个不同的状态。它们是AAAC 2，AABC ，ABAC ，ABB ，BAAC ，BAB ，BBA 和BBBC 。
矮寨大桥玻璃栈道然后就可以通过计算这些的多项式的总和达到计算其琼斯多项式的目的，过程如下：
<31>=AAAC 2+AABC+ABAC+ABB+BAAC+BAB+BBA+BBBC
=AAAC 2+A （AA -1）C+（AA -1）AC +（AA -1）B +（A -1A ）AC +B
（AA -1）+B （A -1
A ）+BBBC
=A 3C 2+AC+AC+B+AC+B+B+B 3C =A 3C 2+3AC +3B +B 3C =A 3（-A 2-A -2）2+3A （-A 2-A -2）+3A -1+（A -1）3（-A 2-A -2）=A 7-A 3-A -5
在
得到扭结31的
琼斯多项式后，我们还可以计算这个扭结的捻数，记为w （L 算如图（a ）+1crossing.（b ）-1crossi
ng.因为，扭结就可以如右图表示。也就是说，w （31）=-3。
琼斯多项式还有以下这些属性：1.反转扭结L 的每个部分，将反转后的扭结表示为L *，则有V （L *）（t ）=V （L ）（t ），因此我们也就得到了X （L *）=X （L ）和V （L *）=V （L ）。
2.将扭结L 的镜像表示为L ⎺，则有V （L ）（t ）=V （L ）（t -1），这个
属性同样满足Conway 多项式C （K ⎺）=C （K ），其中K 同样代表扭结。
-1
-1
-1100--
. All Rights Reserved.
我们可以使用这种方式解决这类问题，即将扭结分解为不同的状态，然后计算状态总和。但是，仅使用琼斯多项式并不能解决有关扭结的所有问题。在继续研究多项式之后，数学家提出了HOMFLY 多项式。接下来，让我们讨论HOMFLY 多项式的定义和性质。三、HOMFLY 多项式在琼斯宣布他的新多项式四个月后，HOMFLY 多项式被发
现。HOMFLY 多项式的名称来自发现者Haste ，Ocneau ，Millett ，
Freyd ，Lickonsh 和Yetter 的名字的首字母。HOMFLY 多项式是第
一个被发现的可以同时推广琼斯多项式和亚历山大多项式（Alexander Polynomial ）的多项式。其中亚历山大多项式是二变量Laurent 多项式，变量为m 和l 。比较HOMFLY 多项式和琼斯多项式，琼斯多项式更易于计算，具有识别不同结的能力，甚至可以识别三叶形结及其镜像。但是，HOMFLY 多项式发现了结理论与物理学之间的联系，这同
时促进了物理学和数学的发展。以下是一些计算扭结的HOMFLY 多项式的法则：
1.P （O ）=1；
2.lP （L +）+l -1P （L -）+mP （L 0）=0。
这些法则叠加使用计算任何扭结的HOMFLY 多项式，而用这些法则也可以得出以下公式：
P （L 1∪L 2）=-（l+l -1)m
P （L 1）*P （L 2）这个公式的证明过程如下所示：
L +L -L 0
首先，先看这三个扭结：从图片中可以得到：P （L +）=P （L -）=1。
使用第二条法则：l +l -1
+mP （L 0）=0，可以得出mP （L 0）=-（l +l -1），
也就是P （L 0）=--（l+l -1
)m
。假设L 1∪L 2是指扭结L 1和L 2的拆分联合，就可以得到之前
的公式，也就是P （L 1∪L 2）=-（l+l -1
)m
P （L 1）*P （L 2）。使用这个公式，就可以得出HOMFLY 多项式的性质：如果一个链结L 可以被分成L 1，L 2，L 3，…，L k 的形式，则有：P （L ）=［-（l +l -1）
m -1］k -1
P （L 1）P （L 2）…P （L k ），原因如下：
（a ）当k =2时，结论很明显成立。（b ）当k >2时，P （L ）=P （L 1∪L 2∪…∪L k ）
=P （L ′1∪L k ）=-（l +l -1）m -1P （L ′1∪L k ）=…
=［-（l +l -1）m -1］k -1
P （L 1）P （L 2）…P （L k ）证毕。
然后返回到之前两个HOMFLY 多项式的法则，其中法则2可
以推导琼斯多项式。当l=it -1
且m =i （t
-12-t 1
2
），i =√（-1）时，这
个公式可以写为t -1
V （L +）-tV （L -）=（t 1
2
-t -12
）V （L 0），也就是琼斯多项式的第二个法则。
接下来，让我们研究HOMFLY 对链结镜像的影响。定理为：将一个链结L 的HOMFLY 项式P （L ）中的每一个l 都替换为l ，得到的新的多项式即为这个链结镜像L *的
HOMFLY 多项式，表示为P L *（l ，m ）=P L （l -1
，m ），这个也是可以被证明的：
对于链结L 的每一个重叠点，都满足lP （L +）+l -1P （L -）+m P （L 0）=0，如果这个交叉点在此链结中为L +，则在其镜像中为L *-。
同样，如果这个交叉点在此链结中为L -，则在其镜像中为L *
+。如果这个交叉点在此链结中为L 0，则在其镜像中为L *0。
因此，上边的等式可以改为lP （L +-）+l -1
P （L *+）+mP （L *0）
=0。也就是说，P L *（l ，m ）=P L （l -1
，
m ）。HOMFLY 多项式不是所谓的扭结的完全不变式，它不能区
分所有的扭结。比如一对突变结将始终具有相同的HOMFLY 多项式。
对于链结的交点最少的投影图，它可以表示C （L ）的投影图。交换一个交点上下两条线的位置获得L ′，然后C （L ′）<C （L ）。与扭结有关的多项式不仅有琼斯多项式和HOMPLY 多项
式，除此之外还有亚历山大多项式等。在扭结中，通过更改交点的层次，任何投影都可以转换为链结的投影。
在计算扭结的HOMFLY 多项式时，通常需要绘制其解析树（resolving tree ）
。一名百科书作家维斯斯坦（Weisstein ）将解析树定义为：一种链接树，通过重复选择一个交叉点，应用绞线关系获得两个更简
单的链接并重复此过程来获得。解析树的树深度是链接级别的
数量，不包括顶部。链接的树深度是该链接的任何解析树的最小深度。
以下是一种三叶结的解析树
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：
这些解析树可用于多个新多项式的计算。绘制解析树后，我们可以从上到下、从左到右系统地计算该结的HOMPLY 多项式。选择不同的交叉点以解开扭结将绘制不同的分解树，但是使用这些不同的分解树来计算其多项式，最终结果一定相同。换句话说，解析树的形状不会影响最终的计算结果。
四、总结
数学家按照福原昌夫理论对扭结进行研究，发现了各种与结有关的多项式，包括琼斯多项式和HOMFLY 多项式。这些研究都在数学和物理学方面具有广阔的前景。
通常，琼斯多项式和HOMFLY 多项式都是用于计算扭结性质的多项式。这两个多项式是在很相近的时间内发现的，但是它们在结的研究中都起着决定性的作用。将这两个多项式的法则进行比较时，会发现这实际上是相同的方程式。也就是说，选择的不同参数导致两个多项式的表达式不同。但是，无论使用哪个多项式，都将获得相同的结果。并且应根据不同的条件选择不同的多项式，这样可以节省一些计算时间。此外，这两个多项式具有一定的局限性，例如，一对突变的扭结将始终具有相同的HOMFLY 多项式。
此外，尽管琼斯多项式和HOMFLY 多项式在结的分类和计算中都起着至关重要的作用，但是由于这些
多项式有一定的局限性，因此已证明它们不是扭结的完全不变式。也就是说，我们仍然需要在研究扭结的道路上继续努力，以到更有效的多项式类型。
参考文献：［1］Colin Adams.The Knot Book ［M ］.New York ：W.H.Freeman ，1993.
［2］Susan ，Harris Gregory ，Quenell .Knot Labelings and Knots Without Labelings ［J ］.Mathematical Intelligencer ，1999（21）.
［3］The Jones polynomial for dummies ［Z ］.supported by NSF under Grant No.DMS-XYZ ，2014.
井冈山在哪个省［4］Weisstein ，Eric W.Resolving Tree ［EB/OL ］.MathWorld:A Wolfram Web Resource.［2020-05-23］.mathworld.wolfram/ResolvingTree.html.
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张慧
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