广州市第二学期期末考试试题
高一数学
本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的． 1. 与60-角的终边相同的角是
A. 300
B. 240
C. 120
D. 60 2. 不等式240x y -+>表示的区域在直线240x y -+=的
A. 左上方
B. 左下方
C. 右上方
D. 右下方 3. 已知角α的终边经过点(3,4)P --，则cos α的值是
A. 45-
B. 4
3
C. 35-
D. 35
4. 不等式2
3100x x -->的解集是
A ．{}|25x x -≤≤
B ．{}|5,2x x x ≥≤-或
C ．{}|25x x -<<
D ．{}|5,2x x x ><-或 5. 若3
sin ,5
αα=-是第四象限角，则cos 4πα⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值是
Ａ．4
5
B ．
10
Ｃ．
10
舟山值得去的景点推荐Ｄ．
17
6. 若,a b ∈R ，下列命题正确的是
A ．若||a b >，则2
2
a b > B ．若||a b >，则22
a b > C ．若||a b ≠，则2
2
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a b ≠ D ．若a b >，则0a b -<
7. 要得到函数3sin(2)5
y x π
=+
图象，只需把函数3sin 2y x =图象
A ．向左平移
5π个单位 B ．向右平移5
π
个单位
C ．向左平移
10π个单位 D ．向右平移10
π个单位 8. 已知M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，P 为平面ABCD 内任意—点，则PA PB PC PD +++等于
A. 4PM
B. 3PM
C. 2PM
D. PM
9. 若3cos 25
α=
，则44
sin cos αα+的值是 A. 1725 B ．45 Ｃ．65 D ． 33
25
10. 已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是
A. 4
B. C. 2
D.
11. 已知点(),n n a 在函数213y x =-的图象上，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为
A ．36
B ．36-
C ．6
D ．6-
12. 若钝角ABC ∆的内角,,A B C 成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是
A ．1,2（）
B ．2+∞（，）
C ．[3,)+∞
D ．(3,)+∞
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 把答案填在答题卡上. 13. 若向量(4,2),(8,),//x ==a b a b ，则x 的值为 ．
14. 若关于x 的方程2
0x mx m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是 ．
15. 设实数,x y 满足,
1,1.y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值是 ．
16.
设2
()sin cos f x x x x =+，则()f x 的单调递减区间是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分) 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)
1n n a q S q三亚旅游攻略自由行民宿
-=-．
18．（本小题满分12分）
已知平面向量a ，b 满足||1=a ，||2=b ．
（1）若a 与b 的夹角120θ=，求||+a b 的值； （2）若()()k k +⊥-a b a b ，求实数k 的值.
19.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin c a B b A =+． （1）求A ；
（2）若2a =，b c =，求ABC ∆的面积． 20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12
n n n a S n
++=(1,2,3,)n =． （1）证明：数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等比数列； （2）设21
1
2n n n n b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
D
A
21.(本小题满分12分)
某电力部门需在A 、B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A 、B 两地距离. 现
km 的C 、D 两地（假设A 、B 、C 、D 在同一平面上）测得∠75ACB =，45BCD ∠=，30ADC ∠=，45ADB ∠=（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A 、B
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该准备多长的电线？
22.(本小题满分12分)
已知,,A B C 为锐角ABC △的内角，sin ,sin sin A B C =（）a ，(1,2)=-b ，⊥a b . （1）tan B ，tan tan B C ，tan C 能否构成等差数列？并证明你的结论； （2）求tan tan tan A B C 的最小值.
高一数学参考答案与评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试
题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题
填空题 13. 4 14. (0,4) 15. 3 16. ()7+
,12
12k k k π
πππ⎡⎤
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q (1)q ≠，证明：1(1)
1n n a q S q
-=-．
证法1：（错位相减法）因为1
1n n a a q -=， …………………………………2分
所以1111n n S a a q a q -=++
+ …………………………………4分
211111n n n qS a q a q a q a q -=++
++ …………………………………6分
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所以11(1)n
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n q S a a q -=- …………………………………8分
当1q ≠时，有1(1)
1n n a q S q
-=-． …………………………………10分
证法2：（叠加法）因为}{n a 是公比为q 的等比数列，
所以21a a q =，32a a q =，1,n n a a q += …………………………………2分
所以112)1(a q a a -=-，
223)1(a q a a -=-，…，n n n a q a a )1(1-=-+，…………………………………6分
相加得
n n S q a a )1(11-=-+. …………………………………8分
