本章将涉及统计学分析中最为主要的理论之一：假设检验，它是分析统计数据、构建统计模型进行决策支持的基石。
12.1假设检验的基本思想
12.1.1问题的提出
12.1.2假设检验的基本步骤
1.小概率事件
在讨论假设检验的基本思想之前，首先需要明确小概率事件这一概念。衡量一个事件发生与否可能性的标准是概率大小，通常概率大的事件容易发生，概率小的事件不容易发生。习惯上将发生概率很小，如P<=0.05的事件称为小概率事件，表示在一次实验或观察中该事件发生的可能性很小，因此，如果只进行一次试验，可以视为不会发生。
这里需要澄清一个事实：注意上面的表述是“一次试验中小概率事件不应当发生”，这并不表
示小概率事件不可能发生，也就是说，这里有一个前提：只进行一次试验，结果应当不会是小概率事件。如果进行多次（可能无穷多）试验，那么小概率事件就肯定会发生，或者说，小概率事件在一次试验中不大可能发生，然而在大量试验中几乎是必然发生的。
2.小概率反证法
假设检验的基本思想是统计学的“小概率反证法”原理：对于一个小概率事件而言，其对立面发生的可能性显然要大大高于这一小概率事件，可以认为，小概率事件在一次试验中不应当发生。因此可以首先假定需要考察的假设是成立的，然后基于此进行推导，来计算一下在该假设所代表的总体中进行抽样研究得到当前样本（及更极端样本）的概率是多少。如果结果显示这是一个小概率事件，则意味着如果假设是成立的，则在一次抽样研究中竟然就发生了小概率事件！这显然违反了小概率原理，因此可以按照反证法的思路推翻所给出的假设，认为它们实际上是不成立的，这就是小概率反证法原理。 假设检验的基本逻辑：先成立一个与H1相对立的H0。各种假设检验方法都是根据H0来成立抽样分布，然后求出H0是正确的可能性。如果我们能证明H0是对的可能性很小，那么就可以据此排除抽样误差的说法，认为H1可能是对的。简言之，假设检验的基本原则是直接
检验H0因而间接地检验H1，目的是排除抽样误差的可能性。
否定域，就是抽样分布内一端或两端的小区域，如果样本的统计值落在此区域范围内，则否定虚无假设。
显著度（levelofsignificance）表示否定域在整个抽样分布中所占的比例，也即表示样本的统计值落在否定域内的机会。
显著度愈小，便愈难否定虚无假设H0，也即愈难证明研究假设H1是对的。
3.假设检验的标准步骤
12.1.3假设检验的两类错误（参见李沛良《社会研究的统计应用》p157）
第一类错误：弃真错误，Ⅰ型错误（α）
第二类错误：存伪错误，II型错误（β）
12.1.4假设检验中的其他问题
--原假设-备择假设
--单侧检验-双侧检验
--参数检验-非参数检验通常参数检验是在已经知道了相关数据的分布形式，只是不了解相应参数取值时采用的检验形式。而如果对相关数据的分布形式也并不了解，就必须先确定数据的分布形式，这样才可以进一步对分布做出更为具体的说明以及解释。
第13章连续变量的统计推断（一）——t检验
13.1t检验概述
13.1.1t检验的基本原理
在针对连续变量的统计推断方法中，最常用的有t 检验和方差分析（AnalysisofVariance,ANOVA）两种，其中t检验是最基本的检验方法，也是统计学中跨里程碑的一个杰作。它最初是由W.S.Gosset在1908年以笔名“Student”发表的一篇关于t分布的论文中提出的，并从此开始了利用小样本计量资料进行统计推断的先河，迎来了统计学的新纪元。
1.均数比较的一个实例
这里用一个典型的均数比较实例来引入t检验。
例13.1在CCSS项目中，以项目启动时的2007年4月的数据作为指数基线，基线期指数值为100，随后各期所计算出的指数则代表当期数值相对于“基线”调查数值的变动比例。CCSS中提供了北京、上海、广州三个一线城市的调查数据，现希望考察2007年4月北京、上海、广州三个一线城市的消费者信心指数值是否和基准值100存在差异。
如果从统计学的角度来看，这是一个典型的对总体均数进行假设检验的问题，在这种问题中，研究者所关心的变量为定距变量，因此可以使用均数来代表该定距变量的集中趋势。研究者对该样本所在总体的均数有一个事先的假设（本例中为指数100），而研究目的就是推断：实际上该样本所在总体的均数是否等于这一已知总体均数。根据假设检验知识可以给出两种可能的假设如下：
H0:u=u0，样本均数与假定总体均数的差异完全是由抽样误差造成的。
H1:u≠u0，样本均数与假定总体均数的差异除了由抽样误差造成外，确实也反映了实际的总体均数与假定的总体均数间的差异。
那么，究竟哪一种假设才是正确的呢？根据假设检验的步骤，可以首先假定H0是成立的。那么，该样本就真的是从均数为100的总体中随机抽样而来的。但是，如果考察该样本的实际数据，则会发现，2007年4月北京、上海、广州三地的总样本均数不等于100，而是98.34。
描述统计量（月份=200704箭扣长城一日游攻略） |
| N | 极小值 | 极大值 | 均值 | 标准差 |
上海迪士尼特项目总指数 | 300 | 31.24 | 140.59 | 98.3363 | 18.92074 |
有效的N（列表状态） | 300 | | | | |
| | | | | |
（注：利用以前学过的操作实现输出上面的表格）
两者之间存在着差异， -u=-1.66，仅看这一个数字很难推断出这种差异究竟是大还是小，因为这还和数据的离散程度有关，如果消费者信心值差异较大，本身信心指数的离散程度就比较大，那么这一差值可能并不起眼。反之，则这一差值可能相对比较明显。为此，需要到某种方式对这一差值进行标准化。T值的公式（见李沛良p165）
上图即为t分布。相应的标准化后的统计量为t统计量。显然，t统计量的分布规律是和样本量有关的，更准确地说是和自由度有关。自由度（DegreeofFreedom，一般用v或者英文缩写df来表示）这个概念还出现在其他分布中，它基本上是信息量大小的一个度量，描述
了样本数据能自由取值的个数，在t分布中因为有给定的样本均数这一限定，所以自由度为df=n-1。从上图可以看出，当自由度增加时，它的分布就逐渐接近标准正态分布了。因此，在样本量较大时，可以用标准正态分布来近似t分布。
t检验就是应用t分布的特征，将t作为检验的统计量来进行的检验。
13.1.2SPSS中的相应功能
t检验在SPSS中基本上被击中在“比较均值”子菜单中，具体如下。
（1）单样本t检验过程：进行样本均数与已知总体均数的比较。
（2）独立样本t检验过程：进行两样本均数差别的比较，即通常所说的两组资料的t检验。
（3）配对样本t检验过程：进行配对资料的均数比较，即配对t检验。
13.2样本均数与总体均数的比较
13.2.1单样本案例：基期一线城市信心指数与基准值的比较
单个样本均数检验问题是一种关于总体均数的假设检验问题。这种问题中只有一个随机抽样的样本，研究目的是推断这个样本的总体均数是否等于（或大于，或小于）某个已知总体均数。以例13.1为例，首先应当建立相应的假设。
H0:u=u0,2007年4月一线城市的总信心指数均值为100。
H1:u≠u0，2007年4月一线城市的总信心指数均值不是100。
α=0.05。
数据文件CCSS，其中变量index1为2007年4月的总指数，这是一个典型的单样本总体均数检验问题。天津佛罗伦萨小镇营业时间
SPSS中的操作“分析”→“比较均值”→“单样本t检验”
首先给出的是对当前样本进行的统计描述。
单个样本统计量 |
| N | 均值 | 标准差 | 均值的标准误 |
总指数 | 300 | 98.3363 | 18.92074 | 1.09239 |
| | | | |
然后是t检验的分析结果：
单个样本检验 |
| 检验值=100 |
| t | df | Sig.(双侧) | 均值差值 | 差分的95%置信区间 |
| 下限 | 上限 |
总指数 | -1.523 | 299 | .129 | -1.66367 | -3.8134 | .4861 |
| | | | | | |
t值自由度p值
根据上面的检验结果t=-1.523,p=0.129，因为p值大于检验水准0.05，因此不能拒绝H0,不能认为样本所在的总体均数与假设的总体均数不同。
总体均数置信区间与t检验的一致性图13.5中同时给出了总体均数的置信区间和t检验的结果，两者的结论实际上是完全一致的，置信区间可用于回答假设检验的问题，同时这两者又是互为补充的关系：置信区间回答“量”的问题，即总体均数的范围在哪里，而假设检验
回答“质”的问题，即总体均数之间是否存在差异，以及在统计上确认这种差异的把握有多大。
置信区间在回答有无统计学意义的同时，还可进一步回答这种差异有无实际意义，如在13.2.1节中的案例中，2007年4月份的总指数与100相差在一定范围内都是正常的，则即使差异具有统计学意义，如果差值的可信区间并未超过范围，这个差值也可以认为正常。
13.3成组设计两样本均数的比较
在实际问题中，除了一个总体的检验问题外，还常碰到两个总体均数的比较问题，此时可以考虑使用成组设计的t检验来进行分析。
13.3.1方法原理
两样本t检验和单样本t检验的基本原理实际上非常相似，设两组样本量分别为n1和n2，且均来自两个正态分布的总体，则两样本t检验所建立的假设为：
H0:u1=u2,两样本均数的差异完全是抽样误差造成的，两总体均数相同。
H1:u河北自驾游必去的十个景点1≠u2，两样本均数的差异除由抽样误差造成外，也确实反映了两总体均数存在的差异。
13.3.2案例：不同收入水平家庭的信心指数比较
例13.2研究者认为家庭收入的高低可能会影响消费者信心的平均水平，收入较高的家庭其消费者信心应当比低收入家庭更高。根据前期研究的结果，CCSS项目中将受访家庭按照年收入是否大于4.8万元人民币分为两组，这里以2007年4月的数据为例，比较这两组家庭的消费者信心均值有无差异。
本案例的数据文件CCSS，其中变量index1为总指数，Ts9为家庭收入2级。这是一个典型的两样本t检验的问题，建立的假设如下。
H0:u1=u2,两组家庭收入级别在总指数上没有差别。
H1:u1≠u2，两组家庭收入级别在总指数上有差别。
α=0.05。
SPSS操作
首先给出的是两组需检验变量的基本情况描述。
组统计量 |
| 家庭收入2级 | 海外国旅N | 均值 | 标准差 | 均值的标准误 |
总指数 | Below48,000 | 110 | 90.7458 | 21.23893 | 2.02505 |
Over48,000 | 145 | 104.4475 | 14.92637 | 1.23957 |
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随后结果中会给出最重要的方差齐性检验和t检验分析结果。
| | 方差方程的Levene检验 | 均值方程的t检验 |
| | | | 差分的95%置信区间 |
| | F | Sig. | t云南师大旅行社排名 | df | Sig.(双侧) | 均值差值 | 标准误差值 | 下限 | 上限 |
总指数 | 假设方差相等 | 11.930 | .001 | -6.047 | 253 | .000 | -13.70173 | 2.26593 | -18.16421 | -9.23924 |
假设方差不相等 | | | -5.771 | 186.197 | .000 | -13.70173 | 2.37431 | -18.38574 | -9.01771 |
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