第01讲 有理数（核心考点讲与练）
有理数
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩
正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数 2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 3．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示．
4．任何两个有理数都可以比较大小．
正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
5．只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零．
6．一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
零的绝对值是零．
7．两个负数，绝对值大的那个数反而小．
考点一：正数和负数
【例题1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）向东行进–30米表示的意义是（ ） A ．向东行进30米
B ．向东行进–30米
C ．向西行进30米
D ．向西行进–30米
【变式训练1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法正确的是（ ） A
．零是正数不是负数
B．零既不是正数也不是负数
C．零既是正数也是负数
D．不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数
【变式训练2】（2018·上海市娄山中学七年级单元测试）把收入100记作+100元，则-70元表示_______.
【变式训练3】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）
462
1,0,2.5,, 1.732, 3.14,106,,1
375
-+----中，正数有________________，负数有
________________．
考点二：有理数的初步认识
【例题2】（2018·上海普陀·期中）下列说法正确的是（）
A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数
C．有理数不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数
【变式训练1】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法中，错误的有（）
①
4
2
7
-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是
最小的有理数；⑥-1是最小的负整数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式训练2】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法正确的是（）A．正数、0、负数统称为有理数B．分数和整数统称为有理数
C．正有理数、负有理数统称为有理数D．以上都不对
【变式训练3】（2021·上海·九年级专题练习）在－42，＋0.01，π，0，120这5个数中，正有理数是___________．
【变式训练4】（2020·上海市静安区实验中学课时练习）把下列各数分别填入相应的大括号内：
1314
7,3.5, 3.1415,0,,0.03,3,10,
1722
----
自然数集合｛…｝；
整数集合｛…｝；
正分数集合｛…｝；
非正数集合｛…｝；
考点三：数轴的画法
【例题3】如图，将数轴上﹣6与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为a1，
a2，a3，a4，a5，则下列正确的是（）上海欢乐谷9大必玩项目
A．a3＞0 B．|a1|＝|a4|
C．a1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a2+a5＜0
【变式训练】（2021春•金山区期末）数轴上点A在点B的右侧，点A所表示的数是5，AB＝6，则点B所表示的数是．
考点四：数轴的实际应用
【例题4】如图，已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为﹣1，0，3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动，设t分钟时点P到点M、点N的距离相等，则t的值为．
【变式训练】某天检修小组乘坐新能源电动汽车从A地出发，沿一条东西方向的公路检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，到收工时10次运动所走的路程（单位：km）如下：
+10 ﹣4 +3 +2 +3 ﹣8 ﹣2 ﹣12 ﹣8 +5 （1）问收工时检修小组在A地的东面还是西面？距离A地多少千米？
（2）若电动汽车每千米耗电0.2度，问这天共耗电多少度？
考点五：相反数
【例题5】若a、b互为相反数，则a+（b﹣2）的值为．
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【变式训练】如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．
（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为；
（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．
考点六：绝对值
【例题6】（2021春•杨浦区校级期中）已知|a|+a＝0，|ab|＝ab，|c|﹣c＝0，化简|b|﹣|a+b|﹣|c﹣b|+|a﹣c|．
【变式训练1】已知y＝|2x+6|+|x﹣1|+4|x+1|，求y的最小值．
南京好玩吗值得去吗【变式训练2】若|a﹣3|+|b﹣2|＝0，求a和b的值．
考点七：非负数的性质
【例题7】下列说法正确的是（）
A．|x|＜x
B．若|x﹣1|+2取最小值，则x＝0
C．若x＞1＞y＞﹣1，则|x|＜|y|
D．若|x+1|≤0，则x＝﹣1
【变式训练1】若|x﹣1|+|y+2|＝0，求（x﹣1）（y+2）的值．
考点八：化简绝对值
的结果是（）
【例题8】数a和数b在数轴上的位置如图，化简a b
A ．-a b
B ．b a -
C ．a b --
D ．+a b
【变式训练1】若a ＜0，b ＞0，化简|a|+|2b|﹣|a ﹣b|得（ ）
A ．b
B ．﹣b
C ．﹣3b
北极村旅游风景区D ．2a+b
【变式训练2】化简：34ππ-+-=________． 【变式训练3】有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图
所示，化简：|b|－|c ＋b|＋|b －a|＝________． 【变式训练4】有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：
(1)判断正负，用“>”或“<”填空：b －c 0，a ＋b 0，c －a 0.
(2)化简：| b －c|＋|a ＋b|－|c －a|
考点七：有理数大小比较
【例题9】把-（-1）， 23-，45--
，0用“>”连接正确的是（ ） A ．0>-（-1）> 45--
>23- B ．0>-（-1）> 23->45-- C ．-（-1）>0> 2
3->45-- D ．-（-1）>0> 45-->23
-
【变式训练1】如图所示，a 、b 、c 表示有理数，则a 、b 、c 的大小顺序是（ ）
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A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
【变式训练2】a 、b 两数在数轴上位置如图所示，将a 、b 、﹣a 、﹣b 用“＜”连接，其中正确的是（ ）
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A ．a ＜﹣a ＜b ＜﹣b
B ．﹣b ＜a ＜﹣a ＜b
C ．﹣a ＜b ＜﹣b ＜a
D ．﹣b ＜a ＜b ＜﹣a
【变式训练3】画出数轴，并在数轴上表示下列各数，再用“＜”号把各数连接起来：﹣（+4），+（﹣1），|﹣3.5|，﹣2.5．
