~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~
~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~
~
~~南京市、盐城市 2023届高三年级第一次模拟考
试高三数学
2023.3.23
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1.设M =x ∣x =k 2,k ∈Z ,N =x ∣x =k +12
,k ∈Z , 则(
)
A.M ⊊N
B.N ⊊M
C.M =N
D.M ∩N =∅
【答案】B
【解析】N =x ∣x =k +12,k ∈Z ⇒N =x ∣x =2k +1
2,k ∈Z ，可知N ⊊M ，故选B 2.若f (x )=x (x +1)(x +a )(a ∈R )为奇函数, 则a 的值为(
)
A.-1
B.0
C.1
D.-1或1
【答案】A
【解析】f x =x 3+a +1 x 2+ax ，易知a +1=0⇒a =-1，故选A
3.某种品牌手机的电池使用寿命X (单位：年)服从正态分布N 4,σ2 (σ>0), 且使用寿命不少于2年的概率为0.9 , 则该品牌手机电池至少使用6年的概率为()
A.0.9
B.0.7
C.0.3
D.0.1
【答案】D
【解析】因为手机的电池使用寿命X (单位：年)服从正态分布N 4,σ2 (σ>0)，所以P X >6 =P X >4+2
=P X <4-2 =1-P X ≥2 =1-0.9=0.1，故选D
4.已知函数:f (x )=sin (2x +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x =π 6
对称, 则φ的值为()
A.
π
12
B.
π6
C.
π3
D.
2π3
【答案】B
【解析】由题意f π6 =π3+φ sin =±1，所以π3+φ=π2+k π,k ∈Z ，所以φ=π
6+k π,k ∈Z ，因为0<φ<
π，所以k =0,φ=π
6，故选B
5.三星堆古遗址作为“长江文明之源”, 被誉为人类最伟大的考古发现之一. 3号坑发现的神树纹玉琮, 为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据. 玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念, 是天地合一的体现. 如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成, 且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面, 圆柱的高为12cm, 圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O 上，则球O 的表面积为A.72πcm 2 B.162πcm 2
C.216πcm 2
D.288πcm 2
【答案】C
【解析】设圆柱的底面半径为r，则正方体的棱长为2r ，正方体外接球半径R=3
2
×2r =3r ，如图，因为圆柱
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~移民新加坡
~
~~的高为12，则122
2
+r 2=R 2⇒r 2=18⇒r =32，所以外接球半径为R =3r =36，外接球表面积S =4πR 2
=216π，故选C
h
2O
r R
6.设等比数列a n 的前n 项和为S n . 已知S n +1=2S n +1
2,n ∈N ∗, 则S 6=()
台湾旅游景点介绍A.
312
B.16
C.30
D.
632
【答案】D
【解析】a n +1=S n +1-S n =2S n +12-2S n -1+12 =2a n ，所以a n 的公比为2，令n =1，则S 2=2S 1+1
2
⇒a 1=
12，所以S 6=121-26
1-2=63
2故选D
7.已知椭圆E :x 2
a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)的两条弦AB ,CD 相交于点P (点P 在第一象限), 且AB ⊥x 轴CD ⊥y
轴. 若PA :PB :PC :PD =1:3:1:5, 则椭圆E 的离心率为()A.
5
5
B.
105
C.
255
D.
2105
【答案】B
【解析】PA =r ,P (x 0,y 0)，由对称性可知x 0=2r ,y 0=r ，代入(x 0,y 0+r ),(x 0+r ,y 0)在椭圆上，
即可得:4a 2+4b 2=9a 2+1b 2⇒b 2
a
2=35⇒e =10
5，选B 8.设a ,b ∈R ,4b =6a -2a ,5a =6b -2b , 则()
A.1<a <b
B.0<b <a
C.b <0<a
D.b <a <1
【答案】A
【解析】由6x -2x =2x (3x -1)可得:a ,b 为正数，排除C .
4b -a =6a
-2a 4
a ,5a -
b =6b -2b
5
贵州未来30天天气预报
b
若0<a <1，则1<(46)a +(26)a ⇒4b -a <1⇒b <a ，可是同理(56)b +(26)b >1⇒5a -b
<1⇒a <b 矛盾，
故D 错；由此a >1，则1>(46)a +(26)a ⇒4b -a
>1⇒b >a >1，答案选A
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 全部选对得5分，部分选对得2分, 不选或有错选的得0分.
9.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、然料电池电动汽车、氢发动机汽车等. 我国的新能源汽车发展开始于21世纪初, 近年来发展迅速, 连续8年产销量位居世界第一. 下面两图分别是2017年至2022年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况，则 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
塔吉克斯坦地图
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~图1
图2
A.2017∼2022年我国新能源汽车年产量逐年增加
B.20172022年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆
C.2022年我国汽车年总产量超过2700万辆
D.2019年我国汽车年总产量低于2018年我国汽车年总产量【答案】BCD
10.已知z 为复数, 设z ,z
,
iz 在复平面上对应的点分别为A ,B ,C , 其中O 为坐标原点, 则 ()
A.|OA |=|OB |
B.OA ⊥OC
C.|AC |=|BC |
D.OB ⎳AC 【答案】AB
【解析】设z =a + bi ，则z
=a - bi ,iz =-b + ai ，所以OA =a ,b ,OB =a ,-b ,OC =-b ,a
对于A ，|OA |=|OB
|=a 2+b 2,A 正确
对于B ，OA ×OC =-ab +ab =0，所以OA ⊥OC
,
B 正确；
对于C ，|AC |=OC -OA =-b -a 2+a -b 2=2a 2+b 2,|BC |=OC -OB
=
-b -a 2+a +b
2
=2a +b ，所以|AC |≠|BC |,C 错误；对于D ，OB =a ,-b ,AC =-b -a ,a -b ，而a a -b ≠-b -b -a ，所以OB 与AC
不平行，D 错误故选AB
11.已知点A (-1,0),B (1,0), 点P 为圆C :x 2+y 2-6x -8y +17=0上的动点, 则
()
A.△PAB 面积的最小值为8-42
B.AP 的最小值为22
C.∠PAB 的最大值为
5π
12 D.AB ⋅AP
的最大值为8+42
【答案】BCD
【解析】圆 C:(x -3)2+(y -4)2=8，故∆PAB 面积最小值4-22,A 错
AP min =42-22,B 正确；利用投影法，可得AB ∙AP
≤2×[4+22],D 正确
对于C ，由题意可知，当AP 与圆相切时，∠PAB 最大，此时PC =22,AC =42，所以∠PAC =π
6
，而k AC =
4-03--1 =1，所以∠CAB =π4，所以∠PAB =π6+π4=5π
12,C 正确
综上所述答案为BCD
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~x
y
A B
P
C
12.已知f (θ)=cos4θ+cos3θ, 且θ1,θ2,θ3是f (θ)在(0,π)内的三个不同零点, 则
()
A.
π
7
∈θ1,θ2,θ3 B.θ1+θ2+θ3=π
18
12
【答案】ACD
【解析】f (θ)=2cos 72θ∙cos θ2，故三个根为{π7,37π,5π7}，故A 正确，B 错处理2：cos 3θ=(2cos 2θ-1)cosθ=4cos 3θ-3cosθ,cos 4θ=8cos 4θ-8cos 2θ+1
故:cos π7,cos 3π7,cos 5π7为方程8x 3-4x 2-4x +1=0的根，
保定景点由根与系数关系可得:CD 正确处理1：cos π7∙cos 3π7∙cos 5π7=cos π7∙cos 4π7∙cos 2π7
=sin 87π
8sin π7
=-1
8cos π7
+cos 3π7+cos 5π7
=
(cos π7+cos 3π7+cos 5π7)2sin π
7
2sin π7
=
sin 67π2sin π7
=12
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.编号为1,2,3,4的四位同学, 分别就座于编号为1,2,3,4的四个座位上, 每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为【答案】6
【解析】四个座位，当有两个同学座位相同，另外两个同学座位不同，那么坐法唯一，只需确认两个座位与编号相
同的同学即可，所以坐法有C 2
4=6种.14.已知向量a ,b 满足|a |=2,|b |=3,a ⋅b =0. 设c =b -2a , 则a ,c cos =
【答案】-4
5
【解析】由题意可令a =2,0 ,b =0,3 ，则c =-4,3 ，所以a ,c cos =a ∙c a ∙c
=-82×5=-4
5
15.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F , 点P 是其准线上一点, 过点P 作PF 的垂线, 交y 轴于点A , 线段AF 交抛物线于点B . 若PB 平行于x 轴，则AF 的长度为【答案】3
【解析】由BP =BF ，结合直角三角形性质可得:AF 的中点B 在抛物线上，
设A (0,a )代入B (12,a 2)得a =22，故AF =3
16.直线x =t 与曲线C 1:y =-e x +ax (a ∈R )及曲线C 2:y =e -x +ax 分别交于点A ,B . 曲线C 1在A 处的切线为l 1, 曲线C 2在B 处的切线为l 2. 若l 1,l 2相交于点C , 则△ABC 面积的最小值为【答案】2
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~
~
~~【解析】A (t ,-e t +at ),B (t ,e -t +at ),l 1:y =(-e t +a )x +te t -e t ,l 2:y =(-e -t +a )x +te -t +e -t
⇒x C =t -
e t +e -t
e t -e -t
，
由点差表达面积为S =t -x C e t +e -t
2=
(e
t
-e -t )2+4
2e t -e -t
≥2，当且仅当t =±(2+1)ln 时取等.
四、解答题：本大题共6小题，共70分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在数列a n 中, 若a n +1-a 1a 2a 3⋯a n =d n ∈N ∗ , 则称数列a n 为“泛等差数列”, 常数d 称为“泛差”.已知
数列a n 是一个“泛等差数列”, 数列b n 满足a 21+a 22+⋯+a 2n =a 1a 2a 3⋯a n -b n
(1)若数列a n 的“泛差”d =1, 且a 1,a 2,a 3成等差数列, 求a 1;
(2)若数列a n 的“泛差”d =-1, 且a 1=1
2
五台山的旅游攻略和费用, 求数列b n 的通项b n .
【解析】(1)由题意得a 2=a 1+1,a 3=a 1a 2+1，又a 1,a 2,a 3成等差数列，∴2a 2=a 1+a 3⇒2a 1+1 =a 1+
a 1a 1+1 +1⇒a 12=1，所以a 1=±1
(2)因为a n +1+1=a 1a 2a 3⋯a n ，所以a n +1=a 1a 2a 3⋯a n -1n ≥2 ，
所以a n +1+1=a n +1 a n =a n 2+a n ⇒a n 2
=a n +1-a n +1
所以a 22+a 23+⋯+a 2n =a 3-a 2+1 +a 4-a 3+1 +⋯+a n +1-a n +1 =a n +1-a 2+n -1
又a 1=12,a 2=a 1-1=-12，所以a 21+a 22+⋯+a 2
n =a n +1+12+n -1+14=a n +1+n -14
∴由a 21+a 22+⋯+a 2
n =a 1a 2a 3⋯a n -b n 可得a n +1+n -14=a n +1+1-b n ⇒b n =54
-n 当n =1时，b 1=a 1-a 12
=14符合通项，所以b n =54
-n
18.(本小题满分12分)
在△ABC 中, 角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2c =b (sin A -cos A ).(1)若sin B =10sin C , 求sin A 的值;
(2)在下列条件中选择一个，判断△ABC 是否存在. 如果存在，求b 的最小值；如果不存在, 说明理由.①△ABC 的面积S =2+1;②bc =42;③a 2+b 2=c 2.
【解析】(1)由正弦定理2c =b (sin A -cos A )⇒2C sin =B sin (sin A -cos A )①，把sin B =10sin C 代入①式得
2C sin =10C sin (sin A -cos A ),C sin ≠0所以sin A -cos A =
1
5
联立方程
sin A -cos A =1
5sin 2A +cos 2A =1
⇒22A sin -25A sin -2425=0⇒A sin -45 2A sin +65 =0，在△ABC 中，A sin >0，所以A sin =
4
5
(2)选③a 2+b 2=c 2，则C =π
2，由正弦定理2c =b (sin A -cos A )⇒2C sin =B sin (sin A -cos A )
则2=2B sin A -π4 sin ⇒B sin A -π4 sin =2，因为B sin A -π
4
sin ≤1<2，所以这样的三角形不
存在
19.(本小题满分12分)
如图, 在多面体ABCDE 中, 平面ACD ⊥平面ABC ,BE ⊥平面ABC ,△ABC 和△ACD 均为正三角形, AC =4,BE = 3.
(1)在线段AC 上是否存在点F , 使得BF ⎳平面ADE ?说明理由；(2)求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值.
