丹东市2023届高三总复习质量测试（二）
数学试题评分参考
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．C 5．D 6．A
7．D
8．D
二、选择题
9．BC 10．AC
11．ABD
12．BCD
三、填空题
13．7 14．
2
2
15．12
16．9
四、解答题 17．解：
（1）当n ≥2时，由na n ＋1＝S n －
n (n ＋1)2＋1得(n －1)a n ＝S n －1－n (n －1)
2
＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝－1．
由a 1＝5，得a 2＝S 1＝5，从而{a n ＋1}是以5为首项，－1为公差的等差数列． 故a n ＋1＝a 2＋(n －1)(－1)＝6－n ．
因为7－1＝6≠a 1，所以a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
5， n ＝1，
7－n ，n ≥2．
…………（5分）
（2）由题设及（1）可知S n ＝na n ＋1＋
n (n ＋1)2－1＝－12(n －6.5)2＋161
8
． 当n ＝6和n ＝7时，S n 取最大值20，于是S n ≤20．
…………（10分）
18．解：
（1）f (x )＝2sin(ωx ＋π3)，由2π
ω
＝π，得ω＝2．
大同一日游最佳路线…………（6分）
（2）解法1：
由f (x )在[π12，7π12]上是减函数知7π12－π12≤T 2，因为T ＝2π
ω
，所以ω≤2．
因为ω＞0，x ∈[π12，7π12]，所以ωx ＋π3∈[ωπ12＋π3，7ωπ12＋π
3]．
由0＜ω≤2得π3＜ωπ12＋π3≤π2，π3＜7ωπ12＋π3≤3π2，由题意只能ωπ12＋π3＝π
2
，从而ω＝2．
…………（12分） 解法2：
因为ω＞0，x ∈[π12，7π12]，所以ωx ＋π3∈[ωπ12＋π3，7ωπ12＋π
3]．
由题设知[ωπ12＋π3，7ωπ12＋π3]⊆[2k π＋π2，2k π＋3π
2
]，k ∈Z ，从而
⎩
⎨⎧
ωπ12＋π3≥2k π＋π2
，7ωπ12＋π3≤2k π＋3π
2
．
解得24k ＋2≤ω≤24
7k ＋2．因为ω＞0，所以⎩⎨⎧
24
7k ＋2＞0，24k ＋2≤24
7k ＋2．
故－7
12＜k ≤0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，于是ω＝2．
…………（12分）
19．解法1：
（1）因为平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，所以AD ⊥平面CDD 1C 1，∠D 1DC 是二面角D 1－AD －C 的平面角，故∠D 1DC ＝120º．
连结DE ，则DE ⊥C 1D 1，从而DE ⊥CD ．又AD ⊥CD ，DE ∩AD ＝D ，所以CD ⊥平面AED ，因此CD ⊥AE ． …………（6分）
y
π12
π
3
7π
12 5π
6
3
π
x
O
－2
2
D 1 C
B
A
A 1
B 1
C 1 F
E G
O
D
A H D 1 C
B
A
A 1
B 1
C 1
F
E G I D
（2）设AB ＝2，则DE ＝3，所以CE ＝AE ＝AD 2＋DE 2＝7．
连结AC 交BD 于点O ，连结CE 交交DF 于点G ，连结OG ．因为AE ∥平面BDF ，所以AE ∥OG ，因为O 为AC 中点，所以G 为CE 中点，故OG ＝12AE ＝7
2．且直线OG 与DF
所成角等于直线AE 与DF 所成角．
在Rt △EDC 中，DG ＝12CE ＝7
2
，因为OD ＝2，
所以cos ∠OGD ＝(72)2＋(7
2)2－(2)22×72×
72
＝3
7．
因此直线AE 与DF 所成角的余弦值为3
7
．
…
………（12分）
解法2：
（1）同解法1．
（2）设AB ＝2，则DE ＝3，所以AE ＝AD 2＋DE 2＝7． 取DC 中点为G ，连结EG 交交DF 于点H ，则EG ＝DD 1＝2．
连结AG 交BD 于点I ，连结HI ，因为AE ∥平面BDF ，
所以AE ∥IH ．
直线HI 与DH 所成角等于直线AE 与DF 所成角． 正方形ABCD 中，GI ＝13AG ，DI ＝13DB ＝22
3
， 所以GH ＝13EG ，故HI ＝13AE ＝7
3
． 在△DHG 中，GH ＝13EG ＝2
3
，GD ＝1，∠EGD ＝60º， 由余弦定理DH ＝73．在△DHI 中，cos ∠DHI ＝(73)2＋(73)2－(223)22×73×
7
3
＝3
7．
因此直线AE 与DF 所成角的余弦值为3
7
．
…………（12分）
解法3：
（1）同解法1．
（2）由（1）知BE ⊥平面ABCD ，以D
为坐标原点，→DA 为x 轴正方向，|→
DA |为2个单
位长，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ． 由（1）知DE ＝3，得A (2，0，0)，B (2，2，0)， C (0，2，0)，E (0，0，3)，C 1(0，1，3)．
则→CC 1＝(0，－1，3)，→
DC ＝(0，2，0)， →AE ＝(－2，0，3)，→
DB ＝(2，2，0)．
由→CF ＝t →CC 1(0＜t ＜1)，得→DF ＝→DC ＋→
CF ＝(0，2－t ，3
因为AE ∥平面BDF ，所以存在唯一的λ，μ∈R ，使得→AE ＝λ→DB ＋μ→
DF ，解得t ＝23
，从
而→
DF ＝(0，43，23
3)．
所以直线AE 与DF 所成角的余弦值为|cos<→AE ，→
DF >|＝⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪→AE ·→DF |→AE
||→DF |＝37．
…………（12分） 20．解：
（1）f (x )定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax x ，由f ′(1
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2
)＝0得a ＝2．
若a ＝2，当0＜x ＜12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1
2
时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．
因此a ＝2． …………（4分）
（2）设g (x )＝xf (x )＋(x －1
2
)2，则g ′(x )＝ln x －2x ＋2＝f (x )．
因为g ′(e －2)＝－2e －2＜0，g ′(12)＝1－ln2＞0，所以存在唯一x 0∈(0，1
2
)，使g ′(x 0)＝0，
且当0＜x ＜x 0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x 0＜x ＜1
2
时，g ′(x )＞0，f (x )单调递增，当
1＜x ＜3
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2
时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减．
由g ′(x 0)＝0得ln x 0＝2x 0－2，所以g (x 0)＝(x 0－1
2
)2＞0．
因此当0＜x ＜1
2
时，g (x )≥g (x 0)＞0．
而g (32)＝12(ln27－ln8e)＞0，于是当0＜x ＜32时，xf (x )＋(x －1
2
)2＞0．
…………（12分） 21．解：
（1）法1：深圳游玩免费景点推荐
记甲地小白鼠样本X 值的平均数为-x ，方差为s 21 ；记乙地小白鼠样本X 值的平均数为-y ，
方差为s 22，则-x ＝14，-y ＝21，s 21＝6，s 22＝17，所以 μ＝120-x ＋90-y 210＝120×14＋90×21
210＝17．
σ2＝120[s 21＋(-x －μ)2]＋90[s 22＋(-y －μ)2]210
＝4×[6＋(14－17)2]＋3×[17＋(21－17)2]7
≈23．
…………（4分）
法2：
记甲地小白鼠样本的X 值为x 1
，x 2
，…，x 120
，平均数为-x ，方差为s 21
；记乙地小白鼠样
本的X 值为y 1，y 2，…，y 90，平均数为-y ，方差为s 22．
因为-x ＝14，-y ＝21，s 21＝6，s 22＝17．所以μ＝120-x ＋90-y 210＝120×14＋90×21210
＝17． 由∑k ＝1120(x k －-x )2＝120s 2
1，∑k ＝1
120
(x k －-x )＝0，可得
∑k ＝1
120
(x k
－μ)2＝
∑k ＝1
120
(x k －-x ＋-x －μ)2 ＝∑k ＝1
120
[(x k －-x )2＋2(x k －-x )(-x －μ)＋(-x －μ)2]
＝∑k ＝1120(x k －-x )2＋2(-x －μ)∑k ＝1
120(x k －-x )＋∑k ＝1
120
(-x －μ)2
＝120s 2
1＋120(-x －μ)2 ＝30×60．
同理∑k ＝1
90
(y k －μ)2＝90s 2
2＋90(-y －μ)2＝30×99，于是
s 2＝
1210[∑k ＝1120
(x k －μ)2＋∑k ＝1
90
(y k －μ)2]＝30×60＋30×99210≈23．
…………（4分）
（2）法1：
因为σ＝23＝4.8，所以P (12.2≤X ≤21.8)＝P (μ－σ≤X ≤μ－σ)≈0.68．
从注射过疫苗的小白鼠取出N 只，其中产生抗体的有K 只，则K ～B (N ，0.68)，
P (K ＝k )＝C 102N 0.32N (178
)k (k ＝0，1，2，…，N )． 当N ＜102时，P (K ＝102)＝0；当N ≥102时，P (K ＝102)＝(178
)102C 102N 0.32N ． 记α(N )＝(178
)102C 102N 0.32N ，则 α(N )α(N ＋1)＝C 102N 0.32C 102N ＋1＝N －1010.32(N ＋1)． 由
α(N )α(N ＋1)
＜1等价于N －101＜0.32(N ＋1)，当且仅当N ＜101.32
0.68＝149，
知当103≤N ≤148时，α(N )＜α(N ＋1)；当N ＝149时，α(N )＝α(N ＋1)；当N ＞149时， α(N )＞α(N ＋1)；故N ＝149或N ＝150时，α(N )最大，所以N 的估计值为149，或150． …………（8分）
法2：
因为σ＝23＝4.8，所以P (12.2≤X ≤21.8)＝P (μ－σ≤X ≤μ－σ)≈0.68．
从注射过疫苗的小白鼠取出N 只，其中产生抗体的有K 只，则K ～B (N ，0.68)，
P (K ＝k )＝C 102N 0.32N (178)k (k ＝0，1，2，…，N )．
当N ＜102时，P (K ＝102)＝0；当N ≥102时，P (K ＝102)＝(178
)102C 102N 0.32N ． 若N ＝102，则P (K ＝102)＝17
8×102
P (K ＝101)＜P (K ＝101)．
若N ≥103，则
⎩
⎨⎧
(178)102C 102N 0.32N ≥(178
)
102C 102N ＋10.32N ＋1， (178
)102C 102N 0.32N ≥C 102N －10.32N －1．
化简得⎩
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0.32(N ＋1)≤N －101，0.32N ≥N －102．解得149≤N ≤150．成都
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综上，N 的估计值为149，或150．
…………（8分）
