保密★启用前 试卷类型：A
2021年深圳市高三年级第二次调研考试
数学
2021.4
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3.非选择题必须用0.5毫米黑字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要
求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A={x∈N|x<7},B={5,6,7,8},则集合A∪B中的元素个数为 A.7 B.8 C.9 D.10
2.已知复数z=1+i(i为虚数单位），设z是z的共轭复数，则z·z=
A. B. C.2 D.3
3.五一国际劳动节放假三天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中
随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为
A.香港免税店商城 B. C. D.
4.函数y=·sin(x)·log2|x|的图象大致为
5.已知cosx=,则sin(2x-)=
A. B.- C. D.-
6.设α,β为两个不同的平面，直线lα,则“l//β”是“α//β”的
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.F1、F2分别为双曲线C:x2-＝1的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A、B两点，若l⊥F2B,则=
A. 4-2 B. 4+ C.6-2 D. 6+2
8.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2台北旅游攻略自由行个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为
A. B.1 C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.设直线l:y=kx+1(k∈R)与圆C:x2有什么好玩的+y2=5,则下列结论正确的为
A.l与C可能相离 B.l不可能将C的周长平分
C.当k=1时，l被C截得的弦长为 D.l被C截得的最短弦长为4
10.为方便顾客购物，某网上购鞋平台统计了鞋号y(单位：码）与脚长x(单位：毫米）的样本
数据（xi,yi),发现y与x具有线性相关关系，用最小二乘法求得回归方程为y=0.2x-10,则
下列结论中正确的为
A.回归直线过样本点的中心（,)
B. y与x可能具有负的线性相关关系
C.若某顾客的鞋号是40码，则该顾客的脚长约为250毫米
D.若某顾客的脚长为262毫米，在“不挤脚”的前提下，应选择42码的鞋
11.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩
天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位
置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t=15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下
关于摩天轮的说法中，正确的为
A.摩天轮离地面最近的距离为4米
B.若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h=-60cos(t)+68
C.若在t1,t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为30
D.ヨt1,t2∈[0,20],使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
12.设函数f(x)=ex-ex和g(x)=lnx-ka2+(1-2k)x+（k∈R),其中e是自然对数的底数（e=),则下列结论正确的为
A. f(x)的图象与x轴相切
B.存在实数k<0,使得g(x)的图象与x轴相切
C.若k=则方程f(x)=g(x)有唯一实数解
D.若g(x)虎门有什么好玩的景点有两个零点，则k的取值范围为（0, )
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为,则C的方程可以为 .
14.设恒等式（1-2x)5=ao+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则ao+a3= .
15.若在母线长为5,高为4的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值为 .
16.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德费马（1601-1665)于1643年提出的平面几何极值问
英国十大名牌大学题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小。”费马问
题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ΔABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点．已知点P为ΔABC的费马点，且AC⊥BC,若｜PA|+|PB|=λ|PC|,则实数入的最小值为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分）
在①2b2=a1+a2,②b2=a8,③T3=a5这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并作出解答。
问题：已知数列{an}的前n项和Sn=2ln-n2,等比数列｛bn}的前n项和为Tn,b1=a3,且 ，判断是否存在唯一的k(k∈N*),使得bk>1,且bk+1<1.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.(12分）
ΔABC的内作A、B、C的对边分别为a、b、c, 设sin2A+sin2B-sin2C=sinA·sinB.
（1)求C;
（2)若cosB=, D是边BC上一点，且CD=4BD,ΔACD的面积为,求AC.
19.(12分）
如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB//CD,DC=2,AA1=3,AB=BC=DA=1,
点E和F分别在侧棱AA1、CC1上，且A1E=CF=1.
（1)求证：BC//平面D1EF;
（2)求直线AD与平面D1EF所成角的正弦值．
20.(12分）
已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1. （1)将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X,求X的期望和方差；
（2)18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n,p),那么当n比较大时，可视为X服从正态分布N(μ,o2).任意正态分布都可变换为标准正态分布（μ=0且σ=1的正态分布），如果随机变量Y~N(μ,o2),那么令Z=,则可以证明Z~N(0,1).当Z~N(0,1) 时，对于任意实数a,记Φ(a)=P(Z<a).
已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当a=0.16时，由于0.16=0.1+0.06,则先在表的最左列到数字0.1(位于第三行），然后在表的最上行到数字0.06(位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是Φ(0.16)的值．
（i)求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；
（ii)若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7,则至少需要添加多少个座位？
21.(12分）
在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，P是直线x= -2上的动点，过P作两条相异直线ll和l2,其中l1与抛物线C:y2=4x交于A、B两点，l2与C交于M、N两点，记l1、12和直线OP的斜率分别为k1、k2和k3.
（1)当P在x轴上，且A为PB中点时，求|k1|;
（2)当AM为ΔPBN的中位线时，请问是否存在常数μ,使得＝μk3?若存在，求出μ
的值；若不存在，请说明理由。
22.(12分）
已知定义在R上的函数f(x)=x2+acosx+(a-2)e-x,a∈R.(其中常数e是自然对数的底数，
e=2.)
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（1)当a=2时，求f(x)的极值；
（2)(i)若f(x)在［0,π]上单调递增，求实数a的取值范围；
（ii)当n∈N*时，证明：
