48 福建中学数学 2021年第1期
刘海涛 安徽省芜湖市第一中学（241000）
笔者发现许多向量问题看起来与圆无关，实则本质是圆的问题．由于圆对学生来说并不陌生，在初中就学习了圆的定义和几何性质，到了高中又从解析几何的角度再次学习，所以在面对相关圆的问题时学生很容易解决．故我们在解决这类与圆有着内在联系的向量问题时，必须深入挖掘题中条件，抽象出隐含的圆，进而利用有关圆的知识来解决问题．本文拟以四类模型为例，例谈如何挖掘问题中的隐圆． 类型1 “半径圆”模型 根据圆的定义，若题中出现某一向量长度为定值，则可以利用该长度作为半径构造圆，以圆心为向量的起点，圆周上任一点作为终点． 例1 （2018年高考浙江省模拟题）已知||2=a ，||||1==b c ，则()()−⋅−a b c b 的最大值为________． 解析 设OA = a ，OB = b ，OC =
c ．构造如图1的同心圆O ，半径分别为1和2，点A B ，是小圆周上任一点，点C 是大圆周上任一点，则()(−⋅a b c )cos BA BC BA BC ABC −⋅⋅⋅∠
b ．结合图形得到当||BA 的最大值为3，||BC 的最大值为2，且BA 和BC
同向，则()()−⋅−a b c b 的最大值为6．
例2 （2013年高考湖南卷·理6）已知，
a b 是单位向量，0⋅=
a b ．若向量c 满足||1−−=c a b ，则||c 的取值范围是（ ）．
A
．11] B
．12] C
．[11] D
．[12]
图1 图2
解析 设
OA =
a ，OB =
b ，OC =
c ．如图2，以正方形OADB 的顶点D 为圆心，1为半径构造一
个圆，由向量加法的平行四边形法则得OD OA =+
OB =+
a b
，且||OD = ，则||||OC OD −−=− c a b ||1DC =
，于是点C 是圆周上任一点．当O D C ，
，
三点共线且点C 在点O D ，之间时OC
取长度最小值
1，当O D C ，
，三点共线且点D 在点O C ，之间时OC
1． 类型2 “外接圆”模型 我们知道一定圆中，长度相等的弦所对圆周角相等，根据圆的这一性质，若题中出现两个同起点向量夹角不变，且这两个向量的差的长度为定值，则这两个向量构成的三角形一组对边对角不变，结合正弦定理知识知其外接圆半径为定值，于是构造其外接圆． 例3 （2018年高考黑龙江省模拟题）已知平
面向量，a b 满足||1=b ，且a 与−b a 的夹角为120 ，
则a 的模的取值范围为________．
解析 设OA = a ，OB = b ，则AB −=
b a ．由向量夹角的定义知60OAB ∠= ．
如图3，构造OAB ∆的外接圆，由正弦定理知||12sin sin60OB R OAB ===∠ ，点A 为优弧 OB 上任意一点（不与点O B ，重合）
，则(0180)ABO ∠∈ ，．因为||
韩sin OA ABO
∠
2R =，所以||
(0OA ABO =∠∈．
辽宁葫芦岛类型3 “四点共圆”模型
我们知道判定某一四边形有外接圆的常见方法有两个，一种方法是四边形的一组对角互补，另一方法是某一边分别与其对边的两个端点构成的角大小相等，根据圆的内接四边形的这两个性质，若题中出现的向量可以构造出四边形且符合这两种情况，则构造四点共圆．
例4 （2018年高考安徽省模拟题）
向量，，m n p 满足：||||2==m
n ，2⋅=−m n ，1
()()2
−⋅−=⋅m p n p ||||−×−m p n p ，则||p 最大值为（ ）．
A ．2
B ．1 D ．4
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解析 因为||||2==m
n 及2⋅=−m n ， 所以，
m n 的夹角为120 ． A邯郸职业技术学院
C B
O D A C
B
O
2021年第1期 福建中学数学 49
因为1
()()||||2
−⋅−=
−×−m p n p m p n p ， 所以−m p 与−n p 的夹角为60 ．
设OA = m ，OB =
n ，OC = p ，
则
CA −= m p ，CB −=
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n p ， 于是120AOB ∠= ，60ACB ∠= ．
发现180AOB ACB ∠+∠= ，
且2AOB ACB ∠=∠， 故构造如图4、图5两个圆，易知两圆半径长均为2，点C 均在优弧 AB 上，结合圆的性质知||[24]OC ∈，，所以||p 的最大值为4．
例5 （2018年高考江西省模拟题）已知向量，，a b c 为平面向量，||||21==⋅=a b a b ，且c 使得−c a 与−c b 所成夹角为60 ．则||c 的最大值为（ ）．
A
1 B
C ．1 D
1 解析 因为||||21==⋅=b b a a ， 所以，a b 的夹角为60 ．
设OA = a ，OB = b ，OC =
c ，
则AC −= c a ，BC −=
c b ，
于是60AOB ACB ∠=∠= ．
构造如图6
圆，AB 为公共弦，圆心分别为E F ，，其中O E F ，，三点共线，点C 均在优弧 AB 上，结合图象及圆的
性质知当点C 在⊙F 的优弧 AB 上且和O E F ，
，共线时||OC
，故c
图4 图5 图6
类型4 “直径圆”模型
我们知道圆的直径所对的圆周角为直角，根据这一性质，若题中出现两个共起点的向量的数量积
为零，则可知共同的起点在以这两个向量终点构成的线段作为直径的圆周上，于是构造该“直径圆”．
例6 （2018年高考宁夏回族自治区模拟题）
已知，，b c a 是平面向量，其中||=a ，||3=b ，且a
与b 的夹角为45 ，若(2)(23)0−⋅−=c b c a ，则||
−b c 的最大值为（ ）．
A 1
B ．3
C 1
D 1
解析 因为(2)(23)0−⋅−=
c b c a ， 所以2(2)()03
−⋅−=
c c a b ． 设2OA = a ，
23
OB = b ，OF =
b ，OC =
c ， 则AC BC ⋅
，
于是||OA =||2OB =，||1BF =，
45AOB ∠= ，90ACB ∠= ．
容易得到点C 在以AB 为直径的圆周上，故构
造如图7所示⊙E ，结合图象及圆的性质知当点C E F ，，三点共线且点E 在点C F ，之间时||CF 取到
最大值．在OAB ∆中，由余弦定理易得||2AB =且90OBA ∠= ，所以||EF =，故||CF 的最大值为1，即||−b c 1+．
例7 （2018年高考浙江卷·9）已知，，a b e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为
π
3
，向量b 满足2430−⋅+=b e b ，则||−a b 的最小值是（ ）．
A 1
B 1
C ．2
D ．2
解析 因为233=e 且2430−⋅+=b e b ， 所以2224343−⋅+=−⋅+b e b b e b e ()(3)0=−⋅−=b e b e ． 设OM =e ，3ON = e ，OA = a ，OB =
b ， 则BA =− a b ，MB =− b e ，3NB =−
b e ， 0MB NB ⋅=
，||2MN =．
容易得到点C 在以MN 为直径的圆周上，故构造如图8所示⊙E ，直线OA 与ON 所成角为60 且点A 为动点，结合图象及直线与圆的几何性质知，当线段EA OA ⊥，且点B 为线段EA 与⊙E 的交点时，||AB 取到最小值，||sin 6011OE ⋅−=− ，故
||−a b 1．
图7 图8
向量具有“数”与“形”两个方面的属性，是沟通代数与几何的桥梁，上述例举的四类用隐圆来解决向量问题的方法正是这一双重属性的本质所在．如果学生在解决这类问题时能发现问题的本质，挖掘出背后的隐圆，将会省去复杂的运算，起到事半功倍的效果．
•C E F
A
B O
C E拿渡
F 120 C A
B O 60
60
60
