湖北省荆州中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若方程22
216
x y a a +=+表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（
）
A ．3a >
B ．2
a <-C ．3a >或2
a <-D ．20a -<<；或0<<3
a 2．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x = ，()1,,1
b y = ，()3,6,3
c =-r 且a c ⊥ ，//b c ，则a b +=
（
）
A ．
B ．
C ．4
D ．3
3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A ．若,m n n α⊥⊂，则m α⊥
B ．若,//m n m α⊥，则n α⊥
C ．若//,//m n αα，则//m n
D ．若,αββγ⊥⊥，则//αγ
4．金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（
）
A ．
3
B ．
163πC ．83
π
D ．
3
5．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，13140,0S S <>，则n S 的最小值为（）A ．6
S B ．712月3号全面解封
双塔山之谜S C ．8
S D ．13
S 6．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22420x y x +++=，则PAB 面积的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．[2,6]
D ．[4,12]
7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，27S =，691S =，则4S 为（）
A ．28
B ．32
C ．21
D ．28或-21
8．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF ＞，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2
122
e e +的最小值为（）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
二、多选题
9．数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（）
A ．1(1)n n a =--，*
N n ∈B
．n a =，*N n ∈C ．=2，为奇数0.为偶数
，*
N n ∈D ．1
(1cos π)2
n a n =
-，*N n ∈10．（多选）朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作，《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始5每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”堆放的层数可以是（） A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
11．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，动点M 到点F 的距离与到直线=1x -的距离相等，记M 的轨迹为曲线C ．若过点F 的直线与曲线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则（
）
A ．121
y y =-B ．OAB 的面积的最小值是2C ．当2AF BF =时，9
2
AB =
D ．以线段OF 为直径的圆与圆()2
2:31N x y -+=相离
12．矩形ABCD 中，=2
AB ，AD =AC 将矩形折成一个大小为θ的二面大同恒山悬空寺一日游攻略
角B AC D --，若1
cos 3
θ=
，则下列结论正确的有（）
A ．四面体ABCD 的体积为
3
B ．点B 与D 之间的距离为
C ．异面直线AC 与B
D 所成角为45°
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D ．直线AD 与平面ABC 三、填空题
13．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S =_______.
14．设双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过F C 于A 、
B 两点，若5AB FB =
，则C 的离心率为__________．
15．已知数列{}n c 的通项公式为(21)3n
n c n =-⋅，则数列{}n c 的前n 项和n S =_______.
16．尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为λ（λ＞0，λ≠1），那么点M 的轨迹就是尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆：x 2+y 2＝1和点1,02A ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，点B （1，1），M 为圆O 上动
点，则2|MA |+|MB |的最小值为_____．
四、解答题
17．已知圆22:2420C x y x y +--+=和直线:10l ax y a +--=.(1)判断直线l 与圆C 的位置关系；
(2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长及此时直线l 的方程.
18．在数列{}n a 中，*
112,431,N n n a a a n n +==-+∈.
(1)设n n b a n =-，求证：数列{}n b 是等比数列；(2)求数列{}n a 的前项和.
19．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos
B C b c +（1）求b 的值；
（2
）若cos 2B B +=，求ABC ∆面积的最大值.
20．如图，⊥AE 平面ABCD ，//BF 平面ADE ，//CF AE ，AD AB ⊥，1AB AD ==，
2AE BC ==
.
(1)求证：//AD BC ；
(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的余弦值.
21．己知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()
129N n n a S n *
+=+∈．
(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记3log n n b a =，证明：
1223111112
n n b b b b b b ++++< ．22．已知抛物线C ：()2
同安旅游景点大全介绍20x py p =>，F 为抛物线C 的焦点，()0,1M x 是抛物线C 上点，
且2MF =；
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过平面上一动点(),2P m m -作抛物线C 的两条切线PA ，PB （其中A ，B 为切点），
求11
AF BF
+的最大值.
答案第1页，共15页
参考答案：
1．D
【分析】根据椭圆焦点在y 轴上，可得226,0a a a +<≠，解出范围即可.【详解】解：由题知22
216
x y a a +=+表示焦点在y 轴上的椭圆,
则有:226
0a a a ⎧<+⎨≠⎩
,
解得:20a -<<；或0<<3a .故选:D 2．D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +
的坐标，利用
空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为a c ⊥ ，则3630a c x ⋅=-+=
，解得1x =，则()1,1,1a = ，因为//b c ，则136
y
=-，解得=2y -，即()1,2,1b =- ，
所以，()2,1,2a b +=-
，因此，3a b += .
故选：D.3．B
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断即可. 【详解】选项A.一条直线垂直于一平面内的，两条相交直线，则改直线与平面垂直则由,m n n α⊥⊂，不能得出m α⊥，故选项A 不正确.选项B.
,//m n m α⊥，则n α⊥正确，故选项B 正确.
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选项C.若//,//m n αα，则m 与n 可能相交，可能异面，也可能平行，故选项C 不正确.选项D.若,αββγ⊥⊥，则α与γ可能相交，可能平行，故选项D 不正确.故选：B 4．A【分析】求得外接球的半径，进而计算出外接球体积.【详解】设AC BD O = ，正八面体的棱长为2，
根据正八面体的性质可知：OA OB OC OD OE =====，所以O
是外接球的球心，且半径R =
