湛江市2023年普通高考测试（一）
数学
2023.3本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知i为虚数单位，若1i i
1i b
+
=
-，则实数b=（）
A.1
B.1-
C.2
D.2-
2.已知R为实数集，集合
21
1
A x
x
⎧⎫
=<
⎨⎬
-
⎩⎭
，
124
2
x
B x⎧⎫
=<<
⎨⎬
⎩⎭
，则图中阴影部分表示的集合为（
）A.{}
13
x x
-<≤ B.{}
23
x x<≤
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12
x x≤< D.{}
12
x x
-
<<
3.小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0,5,0,9,1,9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（）
A.16
B.24
C.166
D.180
4.在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记AC a=
，DB b=
，则AE=
（）
A.1124
a b - B.2133
a b + C.12
a b
+ D.3144
a b
+ 5.元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm 和20cm ，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm 和60cm ，则该花灯的体积为（
）
A.3
B.3
C.3
D.3
6.已知F 为抛物线2:8C x y =的焦点，过F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与圆()2
224x y +-=交于D ，E 两点，A ，D 在y 轴的同侧，则AD BE ⋅=（）
A.1
B.4
C.8
D.16
7.已知0.1
99,log 10,lg1111a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
，则（
）
A.b c a
>> B.c b a
>> C.b a c
>> D.c a b
>>8.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x -为奇函数，()()22f x f x ''-+=，
()12f '-=，则()25
1
21i f i ='-=∑（
）
A.13
B.16
C.25
D.51
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm 165168170172173174175177179182体重/kg尼泊尔很穷吗
55
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61
65
67
70
75
75
78
80
由表中数据制作成如下所示的散点图：
由最小二乘法计算得到经验回归直线1l 的方程为 11y b x a =+ ，相关系数为1r ，决定系数为21
R ；经过残差分析确定()168,89为离点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得
到经验回归直线2l 的
方程为 22y b x a =+ ，相关系数为2r ，决定系数为22
R ．则以下结论中正确的有（）
A. 12a
a > B.12b
b > C.12
r r < D.2
2
12无为天气预报
R R >10.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为棱BC 与11D C 的中点，则下列选项正确的有（
）
A.1//A B 平面1
AEC B.EF 与1BC 所成的角为30°C.EF ⊥平面1B AC
D.平面1AEC 截正方体1111ABCD A C D -的截面面积为11.已知0ω>，函数()πcos 3f x x ω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，下列选项正确的有（）
A.若()f x 的最小正周期2T =，则πω=
B.当2ω=时，函数()f x 的图象向右平移π
3
个单位长度后得到()cos 2g x x =的图象C.若()f x 在区间2π,π3⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，则ω的取值范围是51,3⎡⎤⎢⎥
⎣⎦D.若()f x 在区间()0,π上只有一个零点，则ω的取值范围是17,66⎛⎤
⎥⎝⎦
12.已知12,F F 分别为双曲线()222
2:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点，点()11,A x y 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点()2,0B x ，则下列结论正确的有（）
A.20x a
<<
B.12F AB F AB ∠=∠
C.12x x ab
=D.若cos F AF ∠=121
3，且123F B BF = ，则双曲线C 的离心率2
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e =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若31510,0a S ==，则16S =______．14.
cos 70cos 20cos 65︒-︒
=︒
______．
15.若函数()2
e x
f x ax a =--存在两个极值点12,x x ，且212x x =，则=a ______．
16.已知函数()21f x x =+，
记()
()()()()2221143f x f f x x x ==++=+为函数()f x 的2次迭代函数，
()
()()()()
()3421387f x f f f x x x ==++=+为函数()f x 的3次迭代函数，…，依次类推，(
)
()()()()()
n n f x f f f f x =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
个
为函数()f x 的n 次迭代函数，则()
()n f x =______；()()10032f 除以17的余数是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π2cos 3b C a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．（1）求A ；
（2）若△ABC 的面积为
33
2
，
2b =，求a ．18.已知n S ，为数列{}n a 的前n 项和，242=-+n n S a n ．（1）证明：数列{}4n a +为等比数列；
（2）设数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：1
6n
T <．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB 是边长为2的等边三角形，底面ABCD
为平行四边形，且
AD =PB BC ⊥，=45ADC ∠︒
．
（1）证明：点P 在平面ABCD 的正投影在直线AD 上；（2）求平面PBC 与平面PDC 夹角的余弦值．
20.某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm ） ，经统计得到下面的频率分布直方图：
（1）由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数x 和方差2s ．（用每组的中点代表该组的均
值）（2）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布(
)2
,N μσ
，用直方图的平均数估计值x 作
为μ的估计值 μ
，用直方图的标准差估计值s 作为σ估计值 σ．（i ）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了()3,3μσμσ-+之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.8
1.2
0.95
1.
01
1.
23
1.12 1.330.97 1.210.83
利用 μ
和 σ判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．（ii ）若设备状态正常，记X 表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在()3,3μσμσ-+之外的零件个数，求()1P X ≥及X 的数学期望．参考公式：直方图的方差()
2
2
1
n
i
i i s x x p ==
-∑，其中i x 为各区间的中点，i p 为各组的频率．
参考数据：若随机变量X 服从正态分布(
)2
喀纳斯自助游旅游攻略,
N μσ
，
则()3
30.9973P X μσμσ-≤≤+≈0.105≈，0.110≈，90.99730.9760≈，100.99730.9733≈．
21.已知12,F F 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，椭圆E 的离心率为1
2，过2F 且不与
坐标轴垂直的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，1F AB 的周长为8．（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）过1F 且与l 垂直的直线l '与椭圆E 交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．22.已知函数()e cos 2x
f x x =+-．
