遥测遥感网
摘 要
本文针对遥感遥测网中监视装置的数量、固定放置装置的支配集以及连通支配集等问题进行了讨论，建立了模型，然后求解，最后对模型进行评价与推广。 针对问题一，对于A1我们参考了蜂窝网格的特性，证明为使得装置数量最少，装置监视范围的交线应该构成正六边形，然后建立数量最少模型，手工求解得出覆盖该区域装置最少数量为45个；对于A2，建立了一个圆覆盖矩形模型，用MATLAB编程，程序循环13000次，最后得出至少需要的装置个数为：
，并且画出了一个装置个数为264的全覆盖随机放置分配图；对于A3：我们主要的思想是从MATLAB或者CAD画图覆盖的方面来探讨装置的最少数量； 针对问题二，对于B1我们假设120个装置都属于支配集，建立较优支配集模型，然后运用MATLAB编程，采用蒙特卡罗方法求解，最后到一个元素个数为43的较优支配集；对于B2，列出A2装置分配图中点的坐标，然后根据B1的思想到一个元素个数为59的较优支配
集，对于B3我们采用一种基于最小生成树的连通支配集算法,编程求出的最小连通支配集元素个数分别为93和178
关键词： 遥感遥测网 蜂窝网格 支配集 蒙特卡罗 MATLAB
§1 问题的重述
大气污染所引起的地球气候异常，导致大面积严重森林大火的频频发生，给人民的生命财产造成巨大损失。因此，不少国家政府都在研究有效的森林防火措施。在容易出现高森林火险的重点地区放置高科技的监视装置，建立遥测遥感网，使人们能准确而及时地掌握险情的发展情况，为有效地防止火灾发生或在酿成严重灾害之前将其扑灭创造条件。科技的迅速发展使人们可以制造不太昂贵且具有收发报通讯功能的监视装置。放置在同一监视区域内的这种监视装置（以下简称为装置）构成一个Ad Hoc无线网络，即通常所说的遥测遥感网。
如果监视区域的每一点都处于放置在该区域内某个装置的监视范围内，则称这些装置能覆盖该监视区域。研究能确保有效（即按一定概率）覆盖且数量最少的装置系统的随机放置问题显然具有重要意义。
密云十大旅游景点第一个问题涉及能覆盖给定监视区域的装置数目及分配问题，具体如下：
A1 设监视区域为边长上海世博会是干嘛的b=100(长度单位)的正方形，每个装置的监视半径均为r=10(长度单位)。请参考蜂窝网格的特性讨论覆盖该区域所需装置的最少数量。
A2 在设计遥测遥感网时，首先需要知道对给定监视区域在一定的覆盖保证下应放置装置的最佳（越少越佳）数量，并且常假设装置在监视区域内是均匀地随机放置的。请在上述假设下建立数学模型，利用随机模拟实验回答：对于A1中给定的监视区域及监视半径，至少需要随机放置多少个装置，才能使得成功覆盖整个区域的概率在95%清远旅游景点自驾游以上？并给出一个均匀随机放置装置的分布图。
A3 对一般矩形以及多边形的监视区域进一步探讨以上问题。
由于监视旱情的遥测遥感网地处边远地区，它的每个（除极少数例外）装置都只能以电池为能源，电池用尽装置即报废。因此，如何节省电池能耗是设计此类网络运行方案的头等大事。常用的一个很有效的节能措施是：让大多数装置“休眠”只保留尽可能少的装置“值班”。对同时选出的这些值班装置的全体，必须要求它们整体具有与遥测遥感网的每个装置
都能联系的功能，从而保证当任何休眠装置定时“苏醒”后若发现“香港迪士尼乐园网上商店险情”，都能及时向值班者之一传递险情信息。遥测遥感网的若干装置组成的子集S称为一个支配集，如果该遥测遥感网中不属于S的任一装置必位于S中某个装置的通讯范围之内（即二者可互相交换信息）。不言而喻，上述同时今日中高风险地区查询“值班”的装置的集合必须要求是该遥测遥感网络的一个支配集。从实际应用的角度来说，这种支配集的优劣以其包含的装置个数来衡量（越少越优）。此外，如果把考虑的遥测遥感网视为一个无向图（每个装置是它的顶点，二顶点相邻接当且仅当二点间的距离小于公共的通讯半径R）。支配集按图论意义是连通者更为可取，因为通过仅在支配集内部传递信息的手段可以让它的每个装置共享任一装置所得到的信息，这样的支配集自然称为连通支配集。
第二个问题涉及求元素尽可能少的支配集和连通支配集的问题，具体如下：
B1 设监视区域为边长b=100（长度单位）的正方形，每个装置的通讯半径均为R=10（长度单位）。已知在该监视区域内放置了120个装置，它们位置的横、纵坐标依次是：
x=57,95,34,31,52,30,15,75,75,65,55,41,36,72,16,85,86,75,32,5,16,25,72,68,61,37,48,81,23,35,6,85,64,22,69,80,76,88,25,62,70,45,35,75,35,56,27,92,25,44,5,17,90,25,58,95,87,68,30,9,32,47,50,56,56,47,80,10,12,63,39,81,43,17,80,45,92,78,89,51,40,65,76,30,26,28,25,29,40,4,74,41,39,95,72,79,78,10,8,15,45,70,90,84,20,40,55,5,73,22,17,50,55,87,72,55,7,85,35,10.
y=58,74,12,68,67,4,75,52,30,28,63,61,20,24,10,49,90,90,20,92,35,66,4,33,35,78,46,31,90,66,33,9,37,13,43,83,13,94,95,45,70,42,9,41,91,30,92,90,58,52,80,33,5,74,47,2,72,88,28,9,95,71,43,43,25,25,64,96,33,70,9,89,14,25,55,61,40,22,45,51,90,49,7,98,34,99,8,63,83,11,44,25,21,51,76,8,44,80,89,95,90,82,78,78,70,71,70,95,18,28,80,10,20,22,98,79,2,20,50,68.
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请建立数学模型出一个较好的支配集；画出该120个装置的分配图，并在此图上标出所到的支配集。
