辽宁省沈阳市2024年高考临门一脚数学试题试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）
A ．1
B ．2-
C ．12
D ．12
- 2．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛
⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=
，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2π B ．23π C ．π D ．43
π 3．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．
的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数
B ．()f x 在()0,∞+上是增函数
C ．()f x 不是函数的最小值
D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-
4．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）
A ．203π
B ．6π
C ．103π
D ．163
π 5．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且斜率为34
的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）
A ．12y x =±
B ．2y x =±
C ．33y x =±
D ．3y x =±
6．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调．如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程，若输入的x 的值为1，输出的x 的值为（ ）
A ．6481
B ．3227
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C ．89
D ．1627
7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为
A ．
B ．
C ．
D ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知,n n A B 是圆222x y n +=上两个动点，且满足()2*2n n n OA OB n N ⋅=-∈，设,n n A B 到直线()310x y n n +++=的距离之和的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和n S m <；恒成立，则实数m 的取值
范围是（ ）
A ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．3
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（
） A ．32 B ．3
3 C ．15
5 D ．10
5
10．已知||
23z z i =-（i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数），则复数z 在复平面内对应的点在（ ）.
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤
=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，
()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）
A ．2
B ．5
C ．7
D ．8
12．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ）
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A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件福建省教育厅
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .
14．各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若31a =，且522S S =+，则公比q 的值为_____.
15．在某批次的某种灯泡中，随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下： 寿命（天） 频数 频率 [)200,300
40 a [)300,400 60 0.3北京香山公园门票多少
[)400,500
b 0.4 [)500,600
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20 0.1 合计 200 1
某人从灯泡样品中随机地购买了()*n n N ∈个，如果这n 个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样．．．．．．．．
所得的结果相同，则n 的最小值为______.
16．双曲线22
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x y -=的焦距为__________，渐近线方程为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）己知0a >，0b >，0c >.
（1）求证：()
44422422ab a b a a b b a b +-++；
（2）若1abc =，求证：333a b c ab bc ac ++++.
18．（12分）已知抛物线2:2G y px =，焦点为F ，直线l 交抛物线G 于,A B 两点，交抛物线G 的准线于点C ，如图所示，当直线l 经过焦点F 时，点F 恰好是AC 的中点，且83 BC =.
（1）求抛物线G 的方程；
（2）点O 是原点，设直线,OA OB 的斜率分别是12,k k ，当直线l 的纵截距为1时，有数列{}n a 满足
()2
112n 1,16,42n a k a k a -==-=+，设数列1n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，已知存在正整数m 使得20201m S m ≤<+，求m 的值.
19．（12分）已知抛物线2
:2(0)W y px p =>上一点(,2)C t 到焦点F 的距离为2， （1）求t 的值与抛物线W 的方程；
（2）抛物线上第一象限内的动点A 在点C 右侧，抛物线上第四象限内的动点B ，满足OA BF ⊥，求直线AB 的斜率范围.
20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点.
（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值.
21．（12分）已知函数()()1ln f x x x x λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭
R . （1）当1x >时，不等式()0f x <；恒成立，求λ的最小值；
（2）设数列()*1N n a n n =∈，其前n 项和为n S ，证明：2ln 24
n n n a S S -+>. 22．（10分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11A ACC ，12CC =，ABC ，1ACC △，均为正三角形，E 为AB 的中点．
（Ⅰ）证明：1//AC 平面1B CE ；
