十六、一元二次方程的应用（含百分号）
知识点拨
解一元二次方程
解一元二次方程有四种基本方法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。
一、直接开平方法
一边是关于某个未知数的完全平方式,另一边是非负数的形式.符合这一特征的方程都可以用直接开平方法.
直接开平方法的一般步骤为:
⑴将方程化为或形式;
⑵两边平方,得或
二、配方法(将次解一元二次方程)
配方法是通过配方将方程化为一边含有未知数的完全平方式,另一边是非负数,来解一元二次方程的方法.
配方法的一般步骤为:
⑴将含有未知数的代数式放在一边,常数项放在另一边;
⑵将二次项系数化为;
⑶两边都加上一次项系数一半的平方;
⑷左边配成含有未知数的完全平方式,右边是非负数的形式;
⑸用直接开平方法求解.
三、公式法
一元二次方程的根是由方程的系数a,b,c确定,当时,方程的根为,利用这个求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
⑴把一元二次方程化为一般形式;
⑵确定a,b,c的值;
⑶求出的值;
⑷判断的符号,当时,则把a,b,c及的值代入求根公式,求出.当时,原方程没有实数根.
四、因式分解法
将一元二次方程化为两个一次因式乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于0,从而实现降次的解法叫因式分解法.它一般适用于系数较简单而判别式又是完全平方的方程.
因式分解法的一般步骤为:
⑴将方程右边化为零;
⑵将方程左边分解成两个一次因式的乘积;
⑶令每个因式分别为零,得两个一元一次方程;
⑷解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
例题演练
1．柚子糖度高、酸味低，有益身体健康，深受大家喜爱．某水果店在去年8月份购进福建蜜柚和泰国青柚共900个，福建蜜柚进价为6元/个，泰国青柚进价为20元个，两种柚子的总进价不超过12400元． （1）该水果店去年8月份购进福建蜜柚最少多少个？
（2）今年8月份，该水果店用和去年8月份相同的进价购进两种柚子，福建蜜柚购进数量为去年8月份购进数量的最小值，售价为16元/个．泰国青柚购进数量为去年8月份购进数量的最大值，售价为30元/个，两种柚子全部卖出．今年9月份，该水果店购进与上个月数量相同，进货单价相同的福建蜜柚．为了进一步占领市场份额，水果店对福建蜜柚进行了降价促销，它的售价在上个月的基础上先降价a%，再“买三送一”（每买3个就免费赠送1个，即4个装成一袋，一袋以3个的价格出售，但消费者只能整袋购买）．受各种因素的影响，与上个月相比，泰国青柚的进价下降40%，进货量下降a%，售价上涨2a%．两种柚子卖完后，该水果店今年9月份销售两种柚子的总利润比上个月上涨，求a的值． 【解答】解：（1）设该水果店去年8月份购进福建蜜柚x个，则购进泰国青柚（900﹣x）个，
依题意，得：6x+20（900﹣x）≤12400，
解得：黔西南州人民政府网x≥400．
答：水果店去年8月份购进福建蜜柚最少400个．
（2）由（1）可知：今年8月份，该水果店购进福建蜜柚400个、泰国青柚500个．
依题意，得：[16（1﹣a%）×﹣6]×400+[30（1+2a%）﹣20×（1﹣40%）]×500（1﹣a%）＝[（16﹣6）×400+（30﹣20）×500]×（1+），
整理，得：90a﹣3.6a2＝0，
解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为25．
2．风筝又称“纸鸢”、“鸢儿”，放风筝是民间传统游戏之一，也是清明时节人们所喜爱的活动．小李打算抓住这一机遇，以每个20元的成本制作了30个风筝，再以每个40元的价格售出，很快就被一抢而空，于是小李计划加紧制作第二批风筝． （1）预计第二批风筝的成本是每个15元，仍以原价出售，若两批风筝的总利润不低于2850元，则第二批至少应该制作多少个风筝？
（2）在实际制作过程中，小李按照（1）中风筝的最低数量进行制作，但制作风筝的成本比预期的15元多了a%（a＞10），于是小李决定将售价也提高a%，附近的商户受到小李的启发，也纷纷卖起了风筝，在市场冲击下，小李实际还剩下a%的风筝没卖出去，但仍然比第一次获利多1668元，求a的值．
【解答】解：（1）设第二批制作x个风筝，
（40﹣15）x+（40﹣20）×30≥2850，
解得，x≥90，
答：第二批至少应该制作90个风筝；
（2）[40（1+a%）﹣15（1+a%）]×90（1﹣a%）﹣15（1+a%）×90×a%﹣（40﹣20）×30＝1668，
解得，a＝20或a＝5（舍去），
答：a的值是20．
3．九月石榴全面上市，其中新品种突尼斯软籽石榴因其个大多汁，其籽可直接吞食而深受大家喜爱，但突尼斯软籽石榴一直因技术问题产量不多，今年终于突破研究大量上市，某超市准备大量进货，已知去年同期普通石榴进价3元/斤，突尼斯软籽石榴进价10元/斤，去年九月共进货900斤． （1）若去年九月两种石榴进货总价不超过6200元，则突尼斯软籽石榴最多能购进多少斤？
（2）若超市今年九月上半月共购进1000斤的石榴，其中普通石榴进价与去年相同，突尼斯软籽石榴进价降4元，结果普通石榴按8元/斤，突尼斯软籽石榴16元/斤的价格卖出后共获利8000元，下半月因临近中秋和国庆双节，两种石榴进价在上半月基础上保持不变，售价一路上涨，超市调整计划，普通石榴进货量与上半月持平，售价下降a%吸引顾客；突尼斯软籽石榴进货量上涨a%，售价上涨2a%，最后截至九月底，下半月获利比上半月的2倍少400元，求a的值．
【解答】解：（1）设购进突尼斯软籽石榴x斤，则购进普通石榴（900﹣x）斤，
根据题意得：10x+3（900﹣x）≤6200，
解得：x≤500．
答：突尼斯软籽石榴最多能购进500斤．
（2）设该超市今年九月上半月购进普通石榴y斤，则购进突尼斯软籽石榴（1000﹣y）斤，
根据题意得：（8﹣3）y+（16﹣10+4）（1000﹣y）＝8000，
解得：y＝400，
∴1000﹣y＝600．
黑龙江省旅游景点排名∵下半月获利比上半月的2倍少400元，
∴[8（1﹣a附近宾馆住宿%）﹣3]×400+[16（1+2a%）﹣10+4]×600（1+a%）＝8000×2﹣400，
整理得：4a2+375a﹣11875＝0，
解得：a1＝25，a2＝﹣（舍去）．
答：a的值为25．
4．某餐馆在冬季推出了羊肉、牛肉两种套餐，其中羊肉套餐定价为60元一份，牛肉套餐定价为50元一份．
（1）若该餐馆限量每天售出羊肉和牛肉套餐共300份，销售总额不低于17000元，则至少销售羊肉套餐多少份？
（2）元旦节，商家回馈新老顾客，共庆“元旦”，促销羊肉和牛肉两种套餐，羊肉套餐的售价比定价降低了元，实际销量在（1）问的最低销量的基础上增加了a%；牛肉套餐以定价的8折销售，销量比羊肉套餐的实际销量少a%，元旦节假期第一天的羊肉、牛肉销售总额比（1）问中的两个套餐的最低销售总额增加了2250元，求a的值．
【解答】解：（1）设销售羊肉套餐x份，则销售牛肉套餐（300﹣x）份，
依题意得：60x+50（300﹣x）≥17000，
解得：x≥200．
答：至少销售羊肉套餐200份．
（2）依题意得：（60﹣）×200（1+a%）+50×0.8×200（1+a%）（1﹣a%）＝17000+2250，
整理得：a2+100a﹣7500＝0，
解得：a1＝50，a2＝﹣150（不合题意，舍去）．
武圣小区
答：a的值为50．
5．温润有度，为爱加温．近年来设计精巧、物美价廉的暖风机逐渐成为人们冬天必备的“取暖神器”，今年11月下旬某商场计划购进A、B两种型号的暖风机共900台，每台A型号暖风机售价为600元，每台B型号暖风机售价为900元．
（1）若要使得A、B两种型号暖风机的销售额不低于69万元，则至多购进多少台A型号暖风机？
（2）由于质量超、品质卓越，11月下旬购进的A、B两种型号的暖风机全部售完．该商场在12上旬又购进了A、B两种型号的暖风机若干台，并且进行“双12”促销活动，每台A型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，A型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最高购进量增加a%，每台B型号暖风机的售价比其11月下旬的售价优惠a%，B型号暖风机12月上旬的销售量比其在（1）问条件下的最低购进量增加a%，A、鹿柴古诗B两种型号的暖风机在12月上旬的销售额比（1）问中最低销售额增加了a%，求a的值．
【解答】解：（1）设购进x台A型号暖风机，则购进（900﹣x）台B型号暖风机，
依题意，得：600x+900（900﹣x）≥690000，
解得：x≤400．
答：至多购进400台A型号暖风机．
（2）依题意，得：600（1﹣a%）×400（1+a%）+900（1﹣a%）×（900﹣400）（1+a%）＝690000（1+a%），
整理，得：150a﹣12a2＝0，
解得：a1＝12.5，a2＝0（不合题意，舍去）．
答：a的值为12.5．
6．石马河某生鲜店中销售“荣昌土猪肉”，“城口山地鸡”，其中“荣昌土猪肉”标价每千克40元，“城口山地鸡”标价每千克60元
（1）该生鲜店售出“荣昌土猪肉”，“域口山地鸡“两种肉品共600千克，若销售总额不低于30000元，则至少销售“城口山地鸡”多少千克？
（2）2019年7月，该生鲜店按标价售出“荣昌土猪肉”300千克．“城口山地鸡”400千克．2019年8月，生鲜店根据市场情况，适当调整“荣昌土猪肉”，“城口山地鸡”的售价，“荣昌土猪肉”的售价比7月的标价增加了a%，销量与7月份保持不变，“城口山地鸡”的售价比7月的标价减少了a%，销量比7月份增加了a%，结果8月份“荣昌土猪肉”，“域口山地鸡”的销售总额比7月份增加了a%，求a的值．
【解答】解：（1）设销售“城口山地鸡”x千克，则销售“荣昌土猪肉”（600﹣x）千克，
依题意，得：40（600﹣x）+60x≥30000，
解得：x≥300．
答：至少销售“城口山地鸡”300千克．
（2）依题意，得：40（1+a%）×300+60（1﹣a%）×400（1+a%）＝（40×300+60×400）（1+a%），淄博市有几个区县
整理，得：2.4a2﹣60a＝0，
解得：a1＝0，a2＝25．
答：a的值为25．
7．“中秋节”是我国的传统佳节，中秋赏月吃月饼．某蛋糕店销售“杏花楼”和“元祖”两个品牌的月饼，每个“杏花楼”月饼的售价是15元，每个“元祖”月饼的售价是12元．
