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何种随机过程能较好地描述股票价格波动，是一个十分有意义的问题。1900年法国数学家巴施里耶(Bachelier,1900)提出，证券价格的变化可以看作是普通布朗运动。萨缪尔森在1965年（Samuelson,1965a, 1965b）更进一步提出，股票价格的变化遵循几何布朗运动。此后，几何布朗运动成为经济学家描述股票价格变动所采用的基本模型。例如，获诺贝尔经济学奖的布莱克—— —修尔斯期权定价模型（Black and Scholes, 1973）就建立在几何布朗运动的假定基础之上。
在布莱克-修尔斯模型中，股票价格S符合几何布朗运动：
dS(t)/S(t)=rdt+σdW(t)
dlnS(t)=(r-σ2/2)dt+σdW(t)
其中，r是股价收益率的瞬时期望，σ是股价收益率的瞬时标准差（也被称作股价的波动率），二者都是常数。W(t)是标准Wiener过程，一种标准的扩散过程。我们有dW(t)=ε(dt)1/2，ε是一个服从标准正态分布的随机变量。 Cox(1975)和Cox and Ross(1976)提出了恒定方差弹性模型(CEV 模型)来取代布莱克——
—修尔斯期权定价模型。CEV模型的基础是CEV 扩散过程。实际上，几何布朗运动成为了CEV扩散过程的一个特例。CEV模型假定股票价格S符合CEV扩散过程：
dS(t)=rS(t)dt+σS(t)α/2dW(t)
其中，α是方差弹性，它位于[0，2]区间，是一个与股票价格不相关的常数。由于它是恒定的，恒定方差弹性模型因此而得名。
在Cox之后，不少研究者（如Beckers(1980),MacBeth and Merville (1980)等等）继续了CEV模型的研究工作，发现对某些期权来说，用CEV模型计算出来的期权价格，比用布莱克--修尔斯模型计算出来的价格更接近期权市场上观察到的实际价格。但是，布莱克——
—修尔斯模型在期权市场应用中的主导地位没有被撼动。
笔者的观点是，将布莱克——
—修尔斯模型推广为CEV模型，也就是说，把作为期权定价模型基础的几何布朗运动推广为更广义的CEV扩散过程，似乎只是一种修修补补的改良。笔者将提出带上限的非线性生灭过程来挑战几何布朗运动这样的扩散过程。
笔者在自己已发表的两篇中英文论文（高劲（2005），Gao(2006)）中考察了美国道琼斯工业平均数的所有成分股价格的相对偏差，本文则选取了上证50指数所有成分股来作实证分析。笔者的发现是，在观察期内，中美两国股票价格的相对偏差并没有扩散到无穷，股票价格的对数的相对偏差也没有收敛到0。股票价格及其对数的相对偏差都表现平稳，近似于收敛到某一非零常数的趋势。
值得注意的是，哪一种随机过程能更好地描述股票价格的波动，这本身就是一个非常重要的问题。这关系到我们对股票价格变动的本质和规律性的理解。
我们知道，获诺贝尔经济学奖的布莱克——
—修尔斯期权定价模型假定股票价格遵循几何布朗运动。如果我们用生灭过程取代几何布朗运动来描述股票价格的波动，那么布莱克——
—修尔斯模型就需要重写。这将是在金融经济学中具有重大意义的一件事情。
如果基于复杂生命系统的生灭过程取代了简单机械的布朗运动，这是否也预示着经济学中一个新的时代的来临，那就是经济学家今天应更多地借鉴于生物学模型，而不应仅局限于借鉴物理学模型。经济系统具有复杂性、开放性和动态的韧适性，它具有结构，并且处在演化的过程中，这使得它更类似于复杂的有机生命系统。
另外，笔者发现，相对偏差作为一个重要参数，能揭示股票价格波动历史中的重要信息和结构性变化。那么，相对偏差是否应取得和期望与方差一样重要的地位？对诺贝尔经济学奖获得者Markowitz(1952)的资产组合分析的均值——
—方差方法是否应作补充？
最后，相对偏差的剧变凸显了股价变动历史上的重大事件，有无可能利用相对偏差开发出可操作、可赢利的交易法则?
一、几何布朗运动的相对偏差
（一）不取对数时的相对偏差
首先，让我们定义一个随机变量X的相对偏差,
RD(X)=Var(X)1/2/E(X)(1)
这个定义只在变量X为正的时候有意义。
诺贝尔经济学奖获得者Markowitz(1952)提出的资产组合分析的Mean-Variance Approach，以均值度
量资产回报率，以收益率方差或标准差度量资产的风险。但是，标准差与均值同量纲，而且在某些情形下，标准差与均值具有相关性。而相对偏差作为标准差与均值之比率，去除了标准差的这两个先天的弱点，成为一个无量纲的变量，在经济和金融分析中具有很大的优越性。
笔者采用Hodrick-Prescott(HP)滤波器来分离趋势项与波动项。给定一个时间窗口，把趋势项的均值作为随机变量S的期望，波动项的方差作为S的方差。假设股票价格为S，其中的波动项为X，则HP平滑增长趋势，G(t)，是通过下面目标函数的最小化得到的：
MinΣ[S(t)-G(t)]2+λΣ{[G(t+1)-G(t)]-[G(t)-G(t-1)]}2
X(t)=logS(t)-logG(t)
布莱克-修尔斯模型假定股票价格S符合几何布朗运动。李华俊（2002）求得S(t)的均值和方差分别为：
E(S)=S0e rt
Var(S)=[E(S)]2(eσ**2t-1)
因而相对偏差是：
RD(S)=eσ**2t/2(1-e-tσ**2)1/2
它随着时间的流逝扩散到无穷。
（二）取对数时的相对偏差
下面来看股票价格对数ln S的相对偏差。
让X=lnS，则dX(t)=(r-σ2/2)dt+σdW(t)
经推导，有：
RD(X)=Var(X)1/2/E(X)=σt1/2/X0+(r-σ2/2)t
上式收敛于1/t1/2。
所以，当t增加时，相对偏差是先递增后递减收敛到0的。
下面让我们小结一下，如果股票价格服从几何布朗运动，那么我们有结论：
（1）股票价格S的相对偏差扩散到无穷。
（2）股票价格的对数ln S的相对偏差收敛到零。
生灭过程假设和股价相对偏差分析——
—以上证50指数成分股为例
□高劲
资本观察
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浙江金融ZHEJIANG FINANCE/２００8．10/
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二、非线性有界生灭过程的相对偏差
本文的基本思路是，注意到几何布朗运动本身的状态和时间都是连续的，而生灭过程的时间是连续的，状态则是离散的。在任一时刻，一支股票价格上涨的上限是存在的；因为股价是企业在位资产所创造的现金流和未来增长机会可能带来的现金流折现值之和，而这两个现金流折现值都有上限。这样，
带上限的非线性生灭过程恰好适于描述股票价格的变动过程。注意股市中股票报价变动的单位是离散的。
下面讨论生灭过程。假设体中有n个个体，在时刻t有如下性质：
（1）从时刻t到t+Δt死亡一个个体的概率为μn(t)Δt；
（2）从时刻t到t+Δt有一个个体出生的概率为λn(t)Δt；
（3）从时刻t到t+Δt多于一个个体出生或死亡的概率为0；
（4）从时刻t到t+Δt体总数没有变化的概率为1-(λn(t)+μn(t))Δt。生灭过程是一种马尔可夫随机过程。在这种过程中，在某既定的转移概率集（它只取决于系统的目前状况）之下，通过由状态E n到它的毗邻状态E n-1或E n+1的转移序列，系统在E0,E0,E0…这样的有序集之内移动。
吉远慧（2003）考虑了有界非线性生灭过程：
设该系统的上界为N,μn=(a1+b1(N-n))n;
λn=(a2+b2n)(N-n)。
当a1=a2=a,b1=b2=b时，
如果t趋于无穷，则RD（n t）趋于[(b+2a/N)/(2a+b)]1/2，一个常数。
利用上述文献的结果，我们可以把股票价格涨落看作是一个非线性有界生灭过程。n是某支股票在时刻t的价格或价格的对数。定义Δt时间段内该股票价格的变动只能是1个单位，则N可以看作是股票价格上涨的上限。那么N-n就是该股票价格潜在的上涨空间。在一个时间单位内，有一个个体出生的概率是体中由n个个体向n+1个体转移的转移概率；死亡一个个体的概率是由n个个体向n-1个个体转移的概率。这样λnΔt就是股票价格上涨的概率,μnΔt则是股票价格下降的概率，它们和股票价格及股价潜在的上涨空间都有关系。结论是，如果股票价格或价格的对数遵循带上限的非线性生灭过程，那么其相对偏差会随时间收敛到一个常数。
三、上证50指数成分股的相对偏差
在前文中，笔者从理论上归纳的股票价格及其对数的相对偏差在几何布朗运动和非线性有界生灭过程模型中的三个特点不是定量的区别，而是明显的定性的区分。所以笔者不需要作回归分析，而可以采用非参数分析的方法，计算相对偏差并画出相对偏差图来进行验证。
本文考察上证50指数的成分股（在上海证券交易所交易的50只股票），采用股票价格月度数据(月末
收盘价)的对数。数据来源为新浪财经与雅虎财经网站。为避免股价取自然对数后的负数，股票价格一律以分为单位。笔者采用HP滤波器分离股价中的趋势与波动，给出各支股票相对偏差的图形。因为笔者使用月度数据，所以，根据诺奖得主Kydland 的建议，HP滤波器中的λ值采用14400。采用5年的移动时间窗口计算期望、方差和相对偏差。所取股份的最后一个月是2007年1月。每支股票价格数据的起始年月各不相同，取决于上述两家网站能获得这支股票价格数据的最早年月。
笔者获得的5年时间窗口的股价对数的相对偏差图可分为3类。
第一类：相对偏差在样本期内表现平稳。
这一类公司包括32家：浦发银行、齐鲁石化、白云机场、上海机场、华能国际、华夏银行、民生银行、中原高速、中海发展、华电国际、中国石化、福建高速、中国联通、五矿发展、广州控股、清华同方、上海贝岭、雅戈尔、山东铝业、烟台万华、振华港机、贵州茅台、广电电子、福耀玻璃、天津港、通宝能源、浙大网新、国电电力、四川长虹、火箭股份、伊利股份、长江电力。
第二类：相对偏差在样本期内表现平稳，而且振幅有缩小趋势。这一类公司包括5家：上海汽车、兖州煤业、紫江企业、中化国际、张江高科。
第三类：相对偏差在样本期内表现基本平稳，但振幅有扩大趋势，不过没有爆炸即趋于无穷的迹象。
这一类公司包括13家：武钢股份、上港集箱、宝钢股份、南方航空、中信证券、招商银行、G中远、方正科技、申能股份、原水股份、上海石化、马钢股份、东方明珠。
作为例子，在这里介绍振幅扩大趋势较为明显的华能国际、方正科技和原水股份的相对偏差和股票价格趋势。
一个很有意义的现象是，这几家公司相对偏差突然扩大的时点，与股票价格剧变的时点，在时间上有明显的联系。例如，华能国际的相对偏差在样本期第15个月开始明显扩大，在同一时间，公司的股票价格也开始了一个明显的上升周期。又如，方正科技的相对偏差在样本期第170个月开始最近一个上升周期，在同一时间，公司的股票价格也开始了一个剧烈上升的周期。再如，原水股份的相对偏差在样本期第100个月和第140个月分别开始两个上升周期，几乎在同样的时间，公司的股票价格也开始了两个迅速上升的周期。所以，相对偏差图非常有用，它能提供有关股票价格变动历史的重要信息。
以上现象之所以特别有意义，是因为Black（1976）认为股票价格的上升意味着波动性的下降，当然这里的波动性是以方差来度量的。但是，笔者却发现，股票价格的上升往往意味着相对偏差的上升，而相对偏差是不同于方差的对波动性的另一种度量方式。
四、结论
采用本文样本的实证分析表明，股价相对偏差既不扩散也不收敛到0，而是呈现出平稳的趋势。可见使用几何布朗运动解释股价变动并不合适，带上限的非线性生灭过程可以更好地解释价格波动。布朗运动没有揭示股价变动的动力学机制和规律，而生灭过程凸现了股票市场作为一个可持续过程的持续性。在几何布朗运动的框架下，股票价格的相对偏差是爆炸的，而股价对数的相对偏差则收敛到0，都是不可持续的。而在生灭过程的框架下，股票价格及其对数的相对偏差都收敛到常数，具有可持续性。
相对偏差有时会有较大的结构性的变化，伴随着股价的较大异动。但其后相对偏差又渐趋于相对平稳，没有在剧烈上升后呈现爆炸趋势。可见生灭过程模型充分体现了股票市场在面对外来冲击和内部不稳定性时的韧适性。即市场经得起外来冲击，能够逐渐适应剧烈的环境变化。相对偏差还揭示了股价变动历史上的结构性变化。本文样本中的一些股票体现出相对偏差变动和股价变动的某种同步关系，为股票价格波动性和股价水平之间的相关关系提供了经验证据。笔者认为，相对偏差是描述股票市场随机动力学的有力的度量参数，充分凸现了市场的韧适性，即市场在小的外部冲击下的稳定性和大的环境变迁下的适应能力。（本文是2006年广西教育厅科研项目立项课题（面上项目）：“生灭过程和相对偏差视角下的中美股价波动过程比较研究”（项目编号为200602MS137）的研究成果之一。
本文还是2006年广西师范大学博士科研启动基金项目课题：“生灭过程和相对偏差视角下的中国股票价格”的研究成果之一。作者非常感谢广西教育厅和广西师范大学对本文的科研经费资助。（本文是20
06年广西教育厅科研项目立项课题（面上项目）：“生灭过程和相对偏差视角下的中美股价波动过程比较研究”（项目编号为200602MS137）的研究成果之一。本文还是2006年广西师范大学博士科研启动基金项目课题：“生灭过程和相对偏差视角下的中国股票价格”的研究成果之一。作者非常感谢广西教育厅和广西师范大学对本文的科研经费资助。）[作者：广西师范大学]
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责任编辑：刘昱许天阳
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