2021年第4期(上)中学数学研究25
安徽省芜湖市第一中学(241000)刘海涛
1问题的提出
在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”，文［1］以椭圆为例给岀了该法的简单介绍，并在两道圆的问题和两道椭圆的问题中给岀了该法的运用，笔者认为介绍的不够全面系统，本文在定比分点的基础上，分别以椭圆、双曲线、抛物线为例介绍该法的由来，并例举该法在7类解几问题中的应用，全面系统地介绍了“定比点差法”，现与读者分享交流.
2“定比点差法”的介绍整理得b2(x1-Ax2)：2-a2(y1-Ay2)豊冒= (1—A)a2b2，即
x1—Ax2y1—Ay22 x o--------y o—歹—=1一A②
⑶若点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y2=2px(p>0)上且点P(x o,y o)满足一T=APB，则
于是有y2—A2y2
(y1-Ay?)豊十_管=2P x1—A2x2
1+A
y12
2p(H—A2x2),
=2px1,
=2px2,
整理得
，即
(1+A)(y1—Ay2)y o=2p(n—A2x^①
青海西宁城北区最新通告2.1定比分点的定义
若一卫=品，则称点P为有向线段AB的定比分点，点P分有向线段AB的比为丸若点P在线段AB上，则称点P为内定比分点，否则，称点P为外定比分点.(1)当点P 在线段AB上时A>0;(2)当点P在线段AB延长线上时入<—1;(3)当点P在线段AB反向延长线时—1<A<0.
若点A(n,y1),B(x2,y2),P(x o,y o)，则x o
y1+Ay2
y o一厂•x1+Ax2
1+A，
上述表达式①、①、①的推导方法就叫“定比点差法”，由推导过程可以看岀，该法是“点差法”的更一般的推广而
已，当A=1时“定比点差法”即为“点差法”.
“定比点差法"的应用二三四五股票
3.1应用“定比点差法”求点的坐标
例1已知F1,F2分别
x2
是椭圆才+y2=1的左右
焦点，点A,B在椭圆上，且
——1T A=5——2T B，则点A的坐标
是—•
3
2.2“定比点差法”的由来
x2y2
(1)若点A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆—2+备
a2b2
b>0)上，且点P(x o,y o)满足一P=APB，则
1(a>
b2x2+a2y f=a2b2,
b2x2+a2y2=a2b2,
于是有b2x1+a2y12—A2b2x2+a2y2=1—A2a2b2,
整理得b2(x1-Ax2)忙丫2+a2(y1-Ay?)斗+半=
1+A1+A (1—A)a2b2，即
解析如图1，延长AF1
称性得一一1=—B，则一畐
C(x2,y2)，则F16
所以(x1十5x2=—6/2，由点A,C在椭圆上，则
I y1+5y2=0.
{x1+3y2=3，匕亠
于是有(x1+5x2)(x1—5x2)+3(y1+ 25x2+75y2=75,
5y2)(y1—yx2)=—72，即—6/2(x1—5x2)=—72，则x1—5x2=6/2，联立x1+5x2=—6/2得x1=0，则
H+5x2y1+5y2
交椭圆于点C，由对
=5一1^，设A(x1,y1),
6，又F1(—/2,0),
x1—Ax2y1—Ay2
十y o厂1A①
(2)若点A(n,y1),B(x2,y2)在双曲线0)上，且点P(x o,y o)满足一pP=a PB，则x2
a2
1(a,b>
b2x2-a2y2=a2b2,
b2x2—a2y2=a2b2,
于是有(b2x f-a2y2)—A2(b2x2-a2y2)=(1-A2)a2b2,A(0,±1).
评注由向量数乘的几何意义知F1A//F2B且|F1A|= 5|F2B|，考虑到椭圆的中心对称性，可以延长AF1交椭圆于点C，得到|F1C|=|F2B|，从而得到A,F2,C三点共线，且一畐=5一2，于是定点F1为焦点弦AC的定比分点，自然想到使用定比点差法.
3.2应用“定比点差法”
求离心率
26中学数学研究2021年第4期(上) x2y2
例2已知椭圆冷+y=1(a>b>0)，过其左焦点F
且斜率为/的直线与椭圆交于A,B两点，若一方=2FB, 求椭圆的离心率.
解析设A(x1,y1),B(x2,y2)，由一=2FB得
F(冲竺，坐¥里)，由F(—e,0)得
33
x1+2x2=—3e,
y1+2y2=0.
由点A,B在椭圆上，则\b2x2+—2y2=—2b2，故有
[4b2x2+4a2y2=4a2b2,
b2(x1+2x2)(x1—2x2)+a2(y1+2y2)(y1—2x2)=一3a2b2,
a2
即—3eb2(x1—2x2)=—3a2b2，则x1—2x2=。-，联立太白山景区门票免费
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x1+2x2=—3e，得x1=-—-_—，又一里—=a/3，所以
2e x1+e
y1=学，于是有b2(令)2+-2(学)2=魯
整理得4a4—13a2e2+9e4=0，则9e4—13e2+4=0，解得
42
e2=-或1，又0<e<1，所以e=-.
93
评注处理焦点弦问题时，相较于联立直线与曲线方程
法，定比点差法运算量小，过程简洁.
3.3应用“定比点差法”求直线方程
x2y2
例3已知椭圆C：冷+y=1(a>b>0)的左、右
焦点分别为F1,F2，焦距为2，过点F2作直线与椭圆C相交
于A,B两点，且AABF1的周长为4/2.
(1)求椭圆C的标准方程；⑵若|AB|=4|F2A|，求直
线AB的方程.
x2
解析⑴"2+y2=1(过程略).
(2)由|AB|=4|F2A|，得一F2设A(x1,y1),B(x2,y2)，得F^41—t
x2+3x1y2+3y1)又
4
F2(1,0)，所以3X1十血4，由点A,B在椭圆上，则3y1+y2=0.
I9x2+18y2=18,
\x2+2y2=2,
y2)(3y1—x2)=16，即 4(3x1—x2)=16，则3x1—x2=4，联立3x1+x2=4，得x1=4，又9x f+18y2=18，则141
y1=士3，所以A(§，士3)，则k AF2=±1，故I ab:y=x—1或y=—x+1.
于是有(3x1+x2)(3x1—x2)+2(3y1+
评注由平面向量共线定理及向量数乘的几何意义，得一F2=3一一B，自然考虑定比点差法.
3.4应用“定比点差法”求弦长
3
例4已知斜率为2的直线l与抛物线y2=3x的交于A,B两点，与x轴交于点P，若一=3PB，求|AB|.
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x o,0)(x o>0)，由”=3岗，得卩严1乎竺，坐心)，则
4
于是有(y1+3y2)(y1—3y2)=3(x1—9x2), \x1+3x2=4x o，由点A,B在抛物线上，则I y1+3y2=0.
I y1=3x1,
\9y2=27x2,
则x1—9x2=0，联立x1+3x2=4x o，得x1=3x o，又里—=I，则y1=3x o，由y2=3x1，得9x o=9x o, x1—x o2
即x o=1，则|AP|=J1+4|x1—x o|=/13，故|AB|=3|AP|=3屁
评注由一卫=3PB知该题可使用定比点差法，得到点
3
A横坐标x1=3x o，再利用k AP=2，得到y1=3x o，利用
4
3|AP|
3f才”—
2，u S=
抛物线方程得到x o=1，求岀|AP|，最后由|AB
得出答案.
3.5应用“定比点差法”求定值问题
x2
例5已知过点Q(0,1)的直线与双曲线三—y
于A,B两点，与x轴交于点P，若一A=A-Q,—=“bq Q，求证A+“为定值.
解析设P(x o,0)，由一A=A-Q,PB=“BOQ，得
A f x o A、/x o“、
11+A,1+A丿，11+“,1+“丿，
由点A,B在双曲线上，则
(x o—(丄)2=1,
(1+*2即
I3(1+“)2(1+“丿"
两式相减得A+“=1.
评注利用一A=A-Q,PB=“B©得到A,B两点的坐标，代入双曲线方程，变形做差得到A+“=1，是定比点
差的变形应用.另外，该题可以拓展到一般性，有如下结论：
x2y2结论1已知过点Q(0,m)的直线与双曲线卷—碁= 1(a,b>0)交于A,B两点，与x轴交于点P，若—A=A-Q, P—B=“b Q，贝」a+“=—2.
m2+b2
由于圆、椭圆、双曲线、抛物线都是二次曲线，很多时候
它们之间存在类似的性质，于是类比联想，推广得如下结论：
x2y2结论2已知过点Q(0,m)的直线与椭圆寻+y=
1(a>b>0)交于A,B两点，与x轴交于点P，若—A=aa Q,p B=“b Q，则A+“=—2.
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m2—b2
结论3已知过点Q(0,m)的直线与圆x2+y2=r2交于A,B两点，与x轴交于点P，若一A=A-Q,PB=“bq Q,
2r2
贝」A+“=—2-------勺.
m2—r2
3(1+入)2
x2o
x o x o
2=1交
x2—3入2=3(1+入)2,
x2—3卩2=3(1+卩)2,
2021年第4期(上)中学数学研究27结论1,2,3的证明，参照例5.
结论4已知抛物线x2=2py上A,B两点，若直线AB
分别与x,y轴交于点P,Q，且一！=A-Q,PB=同，则
A+“=—1.
证明设P(x o,0),Q(0,y o)，由一A=A-Q,—=
辰得A(孑，浮A)，B(笫，場)，由点A,B
在抛物线上，则
2
xo\
1+A)
2 xo\ 1+卩丿1+A 2p^y o 1+卩
即(
x o=2pA(1+A)y o,
x o=2pm(1+卩)y o,
两式相减得A+卩=—1.
结论5已知抛物线y2=2px上A,B两点，若直线AB 分别与x,y轴交于点P,Q，若p!=A a Q,PB=“灵，则11
A十匚1.
结论5的证明，参照结论4.
3.6应用“定比点差法”求定值问题
x2
例6已知过点P(6,0)的直线与椭圆—+y2=1交于
9
A,B两点,C为点A关于x轴的对称点，求证：直线BC过定点.
解析设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线BC与x轴交于点Q(x o,0)，由题知C(n,—y1)，由向量的共线定理，设一2=ap B,CQ=卩q B，得
P(H+Ax2y1+Ay2) I1+A,1+A丿,
于是有q(n+卩x2y1—卩y2、Q I1+卩,1+卩丿,
x1+Ax2 1+A 6,x o,
x1+“x2
1+卩
x1—Ax2
=一“,1一A
y1+Ay2=y1一卩y2=0，则A
A,B在椭圆上，则
x o.由点
x1+9y12=9,
A2x1+9A2y2=9A2,
于是有
x1+Ax2x1-Ax2+9y1+Ay2y1-Ax2=9
1+A1-A1+A1-A=,
即6x o=9，得Q(j,0)，故直线BC过定点(2,0)评注由对称性，易知直线BC所过定点在x轴上，设所求定点为Q(x o,0)，注意到题中有两组三点共线，故设=ap B,—=“q B，接着使用定比点差法解题.
3.7应用“定比点差法”求定直线问题
x2y2例7已知过点P(4,1)的动直线与椭圆牛十y-=1
交于A,B两点，若线段AB上一点Q满足舲=黑1,
|PB||QB|求证：点Q总在某条定直线上.
AP 解析设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x o,y o),|PB|=
=A(A=1)，则”=—a PB，屁=a QB，则
庙街故事(x1一Ax2y1一Ay2
I1-A,1-A
(H+Ax2
I1+A
y1+Ay2
1+A
于是有
x1—Ax2
1—A
y1—Ay2
1—A
4,
1,
x1+Ax2
y Ay2
1+A
x o,
yo,
由点A,B在椭圆上，则
x1+2y2=4,
A2x2+2A2y2=4A2,
于是有
x1+Ax2x1-Ax2+2y1+Ay2y1-Ax2=4
1+A1-A十1+A1-A=,
即4x o+2y o=4，故点Q在直线2x+y—2=0上.
评注该题改编自2008年高考安徽理科卷，共线的四点成两组等比例线段，于是设一2=-a PB,a Q=a QB，自然想到定比点差法，非常巧妙地得到结论，体现岀定比点差法比其他方法的优越性.
4总结反思
4.1方法总结
“定比点差法”属于技巧，并不是解析几何的通解通法，其适用范围较窄，从上述例题的解答过程可以看岀，当遇到三点共线、定点、成比例等条件时，我们可以尝试该法.
4.2解后反思
本文介绍的“定比点差法”，为今后解决一类解几问题提
供了新的思路，相较于联立直线与曲线方程的通法，该法过程简洁、计算量小，可以提高解题效率，但是该法有其局限性，我们在日常的学习中，要结合自身掌握程度和实际情况，选择最佳的解题方法，不能盲目追求某一种解法，要学会从不同的解法中汲取不同的数学思想，从而提高自身的数学核心素养闵
参考文献
[1]李守明，司恺.活跃在解析几何中的定比点差法[J].数理天地(高中
版),2019(06):14-16.
[2]刘海涛.用裂项相消法解多类数列求和问题[J].中学数学研究(华
南师范大学版),2020(11):
37-38.
