—-以202(丨年全国卷I 导数题为例
刘海涛
(安徽省芜湖市第一中学 241000)
摘要：本文基于2020年全国卷I 理科第21题的导数题出发，从4种不同角度探究一道含参不等式恒成立问题•并 通过挖掘题B 的理论背景，追溯本源.突破该类题目的解题瓶颈.从而掌握该类题型的解题策略.并予以适当的变式 探究，以加强解题的思维性与创新性，发挥该题的最大价值. 关键词：高考导数；含参不等式恒成立；一题多解；变式探究；泰勒多项式
数学离不开解题，数学研究的过程就是解决问 题的过程，掌握数学的一个重要标志就是善于解 题:1].可见，解题是一名教者的必备技能，技能的形 成并非一朝一夕.而在于日积月累.数学解题是巩固 基础知识、落实基本技能、感悟思想方法、提升思维 敏锐度的系统活动，所以对一道典型问题进行多角 度的分析与解答是非常必要的.罗增儒教授曾说： “分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途 径”，并鼓励广大数学教师“重视解题教学、善于变式 训练”[1].笔者以2020年全国卷I 的压轴导数题探 究为例.浅谈对解题教学的认识与思考. 1试题呈现
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/ (x ) =er +
— x .
(1) 当£1 = 1时，讨论/(：£')的单调性；(2) 当 J：>0 时,/(_!•)> j _r 3 + l ，求 a 的取值范 围.
分析第（1)问属于常规问题，本文不再赘述. 重点论述第2问.此问是含有参数的不等式恒成立 问题，本小题综合性强、解法灵活、难度较大，主要考 查了利用导数研究函数的单调性，含参不等式恒成 立求参数范围等知识，考查了学生分析问题、解决问 题的能力及转化与化归、分类讨论的数学思想，体现 了逻辑推理、数学运算等数学核心素养.作为压轴
题，看似熟悉，实则具有一定的迷惑性，稍不留意就 会落人窠臼.该类问题的常规解法有两种：参变分 离，转化为求分离后函数的最值问题；将不等式合理 变形.转化为容易处理的函数恒大于等于零的问题. 通过参数讨论得出变形所得函数的最值.本文尝试 对本题的第2问从不同的角度予以思考，给出不同 的解法.
2解法探究
解析由 / (•!■ ) > ^ x ■' + 1 得
---—x ' +a x "
—x 一 1>0，因为1=0时“61^，所以下面考虑:?:〉 0 时 e ' —j _r 3+a …r 2—x — l >0 恒成立即可.
思路1分离参数得到
一2es
+2x + 2
2? ，
问
题转化为求函数—2er +:r 3+2a ，+ 2
兄⑴=---------^
-----------------
在（0,+M )上的最大值或端点处极限值.
方法1 (参变分离法）由/(:c )>+r 3 + l 得
eJ —-^-：r 、+ a a ，2 —:r — 1 >0，
因为:r = 0时u G R •所以下面考虑:r 〉0时
~
崇明岛旅游景点收稿日期：2020-08-05
作者简介：刘海涛（1988 )，男，安徽滁州人，大学本科学历，中学一级教师，主要从事高中数学教学.高考试题解法研究，高中数学奥林匹克竞
赛（平面几何方向）研究.
+u x2—I一 1>0恒成立即可.不等式变形为.-2er+x3+2x+ 2
a^---------；--------»
设 g(x)-2eJ+x3+2x+2
2x2
(:t>0)，求导得
.、x3-2x-4-2(x-2)e"
片（了）=-----------------------
_(x— 2)(jt2+2x+2— 2eJ)
— z P*
设"?（:r)=:r2+2:r+2— 2e i(:r〉0)，求导得
m/(x)=2(x~h l—eJ )<C〇.
函数 7/2(:r)在（0，+〇〇)上递减，于是 m(:r)<w(0)
=0，当0<；了<2时，尽/(:?')>0，当1>2时，^(>2')< 0，函数^'(:r)在（0,2)上递增，在（2，+〇〇)上递减，所
y_g2r j— ^2
以g(x)m a x=g(2)=—^―，故 a>—-—.
评析对于含参不等式问题，参变分离之后转
化为函数的最值问题，这是一种传统解法，实际解题
时需要注意：“分参”时要注意不等号是否需要变号，必要时需分类讨论；“分参”后，要弄清是求函数的最
大值还是最小值，必要时需利用洛必达法则或导数
的定义求极限值；
思路2将不等式朝着利于参数讨论的方向适
当变形，化为e_' (:r3—2u_r2+2_r+2)<2，构造函数
/!(x ) =e—-1— (P — 2a:r2 +2x +2)，问题转化为
h(a-)m a x<2.
方法2(参数讨论法）不等式变形为^'(13-
2“~+ 2.r+2)<2，设 /!(:r)=e(a-3—2a x'+2x+ 2)(:r>0)，问题转化为/;(x)_<2，求导得
h\x)=—x(x—2)(x— 2a— 1)e—r.
(1) 若2(2 +1<0，即《<— ■，当 0<^<2 时，//(1)>0，于是函数/?(1)在（0,2)上递增，注意到/?(0)=2，则 x G (0,2)时，/?(:r)〉2，不合题意.
(2) 若 0〈2a+1〈 2，即一 j<a<j，当 0〈x
+1 或 jt〉2 时，々’（jt X O，当 +
时，//(jr)〉0，于是函数/i(:r)在（0,2a+1)上递减，在（2u+l，2)上递增，在（2，+〇〇)上递减，由于/K0)
=2，所以 /K:r)m a x<2 当且仅当 A(2a+l)<2，即^<1-
(3)若 2a+1>2，即■，则 A (j X e-'(了3 +2x十2)，因为0所以由（2)可得
e'r(:r3+2:r_i_2):^2，即
7 —e2
综上
4
评析方法2中经变形后构造的函数A b)相 较于后文方法4中的函数p(_r)，更容易利用其导数讨论单调性，究其原因，若/(x)是多项式函数，则^
的导数/=的正负号取决于
e e
分子:y=/'(j：)—/(x)，而此函数仍是多项式函数(有理式），若能因式分解•就为研究该部分的正负提供了可行性.
上海海洋馆的门票是多少钱.0r—x—11
思路3将不等式变形为—-t—>-x-a,
X乙
pr — jr— 1
设=£~^—，问题转化为在（〇,+«〇上，函
x~
数"（x)的图像不落在直线U的下方.
方法3 (数形结合法1)不等式变形为e.r—x—11p'J —jr—1
—,—a，设~求导得JC乙x~
._eJ(X—2)+x+2
U.(JT)== I，
JT3
设 K:r)=e'(x— 2)+jt+2，求导得
t\x)=(x-l)er+l,t(x)=x e r,
当:r>0时，广(了）>0，于是^(1)在（0,+〇〇)上递增，注意到，（0)=0，所以，（x)>0，则函数K x)在(0，+〇〇)上递增，注意到八0)=0，所以〖（1)>0，于是//〇)>0，函数/J(:r)在（0，+〇〇)上递增，且
er_x— 1
lim/^(x)=lim-----；---
j—0.r-*-0X
=lim
•r—•0
er-1
2x
二阶求导
",、—er(了2—4jt+6)—2x—6
去西岭雪山玩一次大概多少钱J1(X)—------------4-----------
X
设 v(x)=e'1 (x~—4x+6)一2x—6,
求导得
/(:r)=eJ (jt2—2:r+2)—2，
/(x)=erx2>0
,
于是v/(x)在（0，+〇〇)上递增，注意到，（0)=0，所 以/&)>0，函数y(x)在（0，+^)上递增，注意到1^(0)達0，所以1^(尤）>0，则//(：1：)>0，函数"（工）为
下凸函数.如图1，设直线3；=j:r—a与函数"（JT)
在点（1。，"（1。））（*r〇〉0)处相切，贝1J
,(e l)x〇—2(e °—x〇— 1) 1
客运站汽车票网上订票"(了〇) =-----------------i---------------=T，
解得:r。=2，则切点为（2, 又直线^
a经过切点，则相切时u
7-ez
结合图1，易知
7-e2
评析若从数形结合的角度切人，又常将此类问题转化为两个函数图像之间位置关系进行解决，更为常见的是转化成一条动直线与一条定曲线进行研究.我们不妨将不等式一分为二，左边构造对应函0^ -JT--1
数"（x)=---------，右边为直线y=v：r—«，而此
JC L
时/K i)恰为下凸函数.因此问题转化为直线与曲线解决.不难根据相切出参数《的临界值为a =数形结
合得出u的范围.另外，我们考虑函数95(_r)=e.r— |.r2—;r_1(_r>0)，求导 (r)=e.r_•r—1>0，于是函数9?(：r)在[0，+〇〇)上递增，则 95(x)>0，即 eT—x—1>j:r2(当且仅当 _r=0 时取
p'r-7™-1
等号），所以lim"(:r)=lim-----^---=V.
j—〇j—〇x^
思路 4 构造函数p(:r)=eT—Y*2"3+a:r2 — 了—1，问转化为9(1)>0对\/16[0，+〇〇)恒成立，通过观察发现M〇)=o，根据经验可考虑利用“端点效应”解题.
方法4 (数形结合法2)设
cp(x)=er——x3H-a x"一x—1，
问题转化为:r>0时，p(x)>0.求导得
3
cp f(x)=ex——x2+2ax一1，
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设函数p(x)与:r轴正半轴在点（x。，0)处相切，贝l j i(p(x〇)=0,
l^/(x〇)=0,
'x1
e0— y jT o+ajrf,—x〇—1=0,
即<
■r3
e0——〇•〇~\~2a x0—1=0，
消去u得
_2)(e——jt〇—x〇— 1)=0?
则JT。=2或:c。=0(舍），此时a:
7~ez
如图2,i a=t^时函数p(x)与X轴正半轴在jt=2处相切，由题意，命题成立当且仅当93(2)> 0，即 e2>7—4a，所以 a>—,—.
图2
评析求导♦•r+2ax_l，注意到^/(0) =0，命题成立的必要条件是=f 一 3了+2«>0 使 递增，函数 p(:r)在[0, +〇〇)递增，即a>+(3_r—e l恒成立，构造函数3>=+(3_
r
一¥)&>0)，得发现结果不正确.再
结合方法1,2,3，发现当时，不等式也可以
4
取等号（在_r =2处），所以接下来我们考虑函数
p(_r)与x轴正半轴是否相切？利用方程组
}求出函数p(Jr)与:r轴正半轴的切点横\(p (.r)=0
坐标（记作x。，实际上=2)，及对应的参数u的
值.接下来根据题目.当且仅当命题成立.解决不等式对V.r G/上恒成立，若仅 在区间端点处取等号，可以采用“端点效应”解题.通法是先用必要性探路，再利用充分性证明，如2010 年、2017年、2019年的全国卷I的导数题；若不在端点处取等号（或除了端点外还有別处取等号），则可 以将问题转化为函数9(h)与_r轴在非端点处相切，该切点即为取等点，如对V_r6 (0，+m)恒成立，我们可以解方程组'得
Ip(JT)=0，
到函数9(1)与轴正半轴的切点横坐标（记作■T。），命题成立当且仅当P(：T d)X>)〇.
3 变式探究
高考试题凝聚着命题人的心血与智慧，是命题者反复考量与打磨才成型的，对教师的教学具有导向性与启示性.对高考题进行解法探究与变式推广，也是教师日常教研的一项基本任务，反映了教师本身的业务素养与能力.
3.1逆向变式
变式1已知函数/(.z)=e‘+幻'2—1，若《>
-，求证：对 V j>0，/(_r)>|r3+l 恒成立.
7 —e2
证明因为.所以对V i>0，
4
27 —e2
/(jr)=eJ ~\~a x~—x^ef H----—x~—x,
下面只需证明对V_r>0,
e*—x
>}2X'
+1，
即 e r[2r3+(e2—7)j.2+4_t+4]<4.
设片（_r)=e.r[2JT'1+(e'—7 )_r-+4j~+4]，
求导得
g，(jr)=e^J'[x(2-j)(2j+e'-9)].
当或 _r>2 时，尺'（_r)<〇，当^^<_r
<2时，/(^)>0，于是函数#(_r)在[0,^y^)上递
减，在（^Y^，2)上递增.在（2, +〇〇)上递减，所以
li.(J)_=m a x k(0)，尺（2)} =4，贝I J 总（_r X4，得证•评析变式1是将原题的条件与结论互换.让
学生体会求参数范围时，抓住“充要”性的关键.跳出
“端点效应”的“坑”.同时让学生进一步深刻认识到
该题中，当时，不等式取等的两个点是a =
4
0»x~2.
3.2类比变式
变式2已知函数/(.r) =(j•一1)¥ —以2(e
是A然对数的底数）.
(1) 判断函数/( x)极值点的个数.并说明理由；
(2) 若 V_r>0，/(：£■)+<:■•■>_r3+_r，求 u的取值范围.
解析（1)当a<0时，/(x)有1个极值点；当
«>0且《关+时，/(x)有2个极值点；当^=^■时，
/(■r)无极值点.（过程省略）
(2)由 /(jt)+er>j:3+了 得 j:eJ— jt3— a x1—x
>0，因为j：=0时u G R，所以下面考虑、r〉0时
—x s—a x2—:r>0，即 e』一x~~a x—1>0t旦成立即 可•设^•(:r) =e"1 — jt2 —a j，一1，问题转化为x>0
时，#(了）>0.求导得 ^(了）=e" —2:r—a，设函数
#(x)与i轴正半轴在点（h，0)处相切，于是
卜心〇)=0，
^(:。)=〇，
|e—x l—a x0—1=0,
即，
'c—2x〇—a=0.
消去^得
(x{)—1)(e— jt〇—1)=0，
则：r(>=1 或 j：。=0(舍），此时 “=e—2.
如图3，当u=e—2时函数#(〇■)与j t轴正半轴
在^=1处相切，由题意，命题成立当且仅当g(l)>
0，即 e—2—<2>0，所以 “<e—2
.
评析变式2是安徽省合肥市2018年4月的 高三二模题，该题与2020年的高考题设置与背景几乎是一样的，在— 2时，不等式在:r=l处也可以取等号，从而数形结合得命题成立的充要条件是g(l)^0.
4命题背景
通过以上分析，我们发现2020年的高考题概括起来叙述，就是对V:r>0，p(:r，a)>0恒成立，其中
7 —e2
p(0，u)=0，p(2，一y-)=0. 2018 年合肥二模（变式2)概括起来叙述，就是对V:r>0，g(j r，《 )多0恒成立，其中#(〇，^)，#(1，6 —2)=0.在高考题的解法4
|o?(x〇)=0,
中，通过方程，得到
\cp(x〇)=0,
(x-2)(e x-y x-x-l)=0,
(^(x〇)=0,
在变式2中，通过，得到
U〇())=〇，
(x-l)(e J—x-l)=0,
那么这两个方程具有什么样的特征呢？其中
■r—x—1=0与j■一1=0是什么呢？其实这两个式子是高等数学中泰勒多项式的二阶式与一阶式对应的方程而己.
4. 1泰勒公式[2]
若函数/(X)在含有_r。的某个开区间（《,/•〇内具有直到《+1阶的导数，则对任一有f(,x)~f(x l))+f'(x Q)(.x—x〇)
"!
(jT—X〇)
.厂
(jr—JT〇)"
(«+l)!
这里$是I。与X之间的某个值，其中，/»…(：T
,,/(n>(x0),
=/ (x〇) +/(x〇) (x—x〇) + •••H-------:----(x—
■r。）"称为n次泰勒多项式
/<n+ 1)($)
u+i y r(x 称为《次泰勒余项.
在泰勒公式中，如果取_1：。=0，则f在0与_r之 间，因此可以令$=知（〇<0<1)，从而泰勒公式变成较简单的形式，
f" (0)
/(x)=/(0)+//(0)xH---——x2+•••
^r r~x
/u+i>(^)…
(» +l)! *
若/(x)=e'则有
2
e'r=1+a-+H---
(n+\)\：
特别地，
4.2追本溯源，总结通法
为便于叙述，记关于函数/(x)=f在:r=0时 的^次泰勒多项式为e,,(x)，如记
el(x)=er— 1~x,e2(x)=e^— \~x——x1.
显然方程e…(i)=0有唯一根、r=0，且时e…(x)>0.
题目形式已知 /(:r)=e—(1+A1jt+A2〇'2+…+A_2了”~ 十 a:r”时，A2 = 1;w> 3,，z G N 时.A*一2，々6N，A… =
7若对V.r>0,/(:r)>0恒成立，求参数“(w—1)!
的取值范围.
共性特征（1)不等式在x=0处取等号，即/(0)=0恒成立.（2)当参数a取某一特殊值〜（若 w=2，a0 = e — 2；若《>3，a〇 = e… —2 («
— 1) _
