2021-2022高考数学模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的1a ，2a ，3a ，
，50a 为茎叶图中的
学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）
A ．38m =，12n =
B ．26m =，12n =
C ．12m =，12n =
D ．24m =，10n = 2．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 与圆22:(3)3C x y +='交于M ,N 两点，若||6MN =则MNF 的面积为( )
A ．28
B ．38
迪拜是哪国的首都C ．328
D ．324
3．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为 14
，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）
A ．35
B ．45
C ．1
D ．85
4．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）
A ．2
B ．5
C 13
D 225．已知复数21i z i =
+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C 2 D ．2
6．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京市和张家口市举行，为了解奥运会会旗中五环所占面积与单独五个环面积之和的比值P ，某学生做如图所示的模拟实验：通过计算机模拟在长为10，宽为6的长方形奥运会旗内随机取N 个点，经统计落入五环内部及其边界上的点数为n 个，已知圆环半径为1，则比值P 的近似值为( )
A ．8N n
π B ．12n N π C ．8n N π D ．12N n
π
8．函数()sin()(0)4f x A x π
ωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3
π
的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）
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A ．向左平移12π
个单位 B ．向右平移4
π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移
34π个单位 9．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：
小王说：“入班即静”是我写的；
小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；
小李说：“细节决定成败”不是我写的.
若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ）
A ．小王或小李
荷兰航空B ．小王
C ．小董
D ．小李 10．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，
切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A 62-
B 21
C ．622
D 21
11．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点1,0A 作x 轴的垂线与曲线x y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线x y e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）
A ．N M N -
B ．M M N -
C ．M N N -
D ．M N
长白山门票多少钱12．已知双曲线222:1(0)3
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-=>y x C a a 的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．3 D ．4
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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.
14．已知矩形 ABCD ，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.
15．过圆22
240x y x y ++-=的圆心且与直线230x y +=垂直的直线方程为__________. 16．已知向量a ，b 满足2a =，1b =，3a b -=，则向量a 在b 的夹角为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图1，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，60BCD ∠=︒，23AB =，3BC =，E 为线段CD 上一点，满足BC CE =，F 为BE 的中点，现将梯形沿BE 折叠（如图2），使平面BCE ⊥平面ABED .
（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；
（2）能否在线段AB 上到一点P （端点除外）使得直线AC 与平面PCF 所成角的正弦值为34？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由. 18．（12分）已知函数()()ln 1f x a x =+,()31,3
g x x ax =- ()1x h x e =-． （1）当x ≥0时，f （x ）≤h （x ）恒成立，求a 的取值范围；
（2）当x ＜0时，研究函数F （x ）=h （x ）﹣g （x ）的零点个数；
（3）求证：101095300010002699
e <<（参考数据：ln1.1≈0.0953）． 19．（12分）已知函数()2123sin cos 2cos
f x x x x m =--+在R 上的最大值为3.
（1）求m 的值及函数()f x 的单调递增区间;
（2）若锐角ABC ∆中角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且()0f A =，求
b c 的取值范围. 20．（12分）已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程；
（2）求直线l 被圆截得的弦长．
21．（12分）如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，PC ＝CD ＝2，E 为AB 的中点，底面四边形ABCD 满足∠ADC ＝∠DCB ＝90°，AD ＝1，BC ＝1．
（Ⅰ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）求直线PC 与平面PDE 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角D ﹣PE ﹣B 的余弦值．
22．（10分）已知函数()sin cos 6f x x x πωω⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
，其中x ∈R ，0>ω． （1）当1ω=时，求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；
