我们曾经学过一元一次方程，例如，解这个方程可得.如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如就是一个二元一次方程.这个方程有无数多组解.比如，，等． 这类未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）．初中范围内通常只讨论这类方程（组）的正整数解或整数解． 不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.
(1)不定方程解的判定
如果方程的两端对同一个模(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.
(2)不定方程的解法
不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、
奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.
定理1：若二元一次不定方程，整数和的最大公约数不能整除，则方程没有整数解． 定理2：若整数,互质，则方程有整数解，同时方程也有整数解.若是方程的一个整数解，则，是方程的一个整数解．
定理3：整系数方程有整数解．
定理2和定理3都是“裴蜀定理”的内容
定理4：如果是满足整系数方程的一组整数解，则（其中为任意整数）也是满足上式的整数解． 这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在时，可选择为正（负）数，此时为相应的为负（正）数．这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明．
由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解．
例如，方程的一组解为，则此方程的所有整数解可表示为：．
板块一 不定方程的整数解
【例1】求方程的整数解．
【巩固】求的整数解．
【巩固】求方程的整数解：⑴；⑵．
【例2】求的所有正整数解．
【巩固】求方程的所有正整数解．
【巩固】求的非负整数解．
【例3】求的整数解．
【巩固】求的整数解．
【例4】求方程组的正整数解．
【例5】求不定方程的整数解.
【例6】求方程的整数解.
【例7】第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程
的正整数的组数是（ ）.
（A）0 （B）1 （C）2 （乌鲁木齐自由行D）3 （E）4
【例8】（第33届美国数学竞赛题）满足方程的正整数对的个数是（ ）.
（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对
【例9】求不定方程的正整数解的组数．
【例10】求方程的整数解.
【例11】(原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数和及素数满足方程.证明:草原天路几月份去合适这时有及.
板块二 证明不定方程无整数解
【例12】下列不定方程（组）中，没有整数解的是（ ）
A. B.
C. D.
【例13】证明方程无整数解.
杭州千岛湖简介【例14】(第14届美国数学邀请赛题)不存在整数使方程成立。
【例15】求证：方程没有各不相同的正整数解．
板块三 不定方程的应用
【例16】某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分贷款，有多少种不同的方法？
【例17】华山门票预约大约年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用个钱买只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
【例18】小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得分，套中小猴一次得分，套中小狗一次得分．小明共套次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套次共得分，问：小鸡至少被套中几次？
【例19】把若干颗花生分给若干只猴子，如果每只猴子分颗，就剩下颗；如果每只猴子分颗，那么最后一只猴子得不到颗，那么，共有______只猴子，共有______颗花生．云南最值得去的景点排名
【例20】今有浓度为、、的甲、乙、丙三种盐水分别为克、克、克.现要配制成浓度为的盐水克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？
【例21】甲、乙两个粮库原来各存有整数袋的粮食．如果从甲库调袋到乙库，则乙库存粮是甲库的倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的倍．问甲库原来最少存粮多少袋？
