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刘鹏飞
楔 子
2011年10月，恰逢赴河北师范大学参加由中国数学会、国家自然科学基金委天元基金主办的首届“全国数学文化”论坛，参会临行前就决定前往有“北岳之英”美誉的封龙山，参观我国历史上唯一以数学文化闻名的封龙书院，并拜谒位于封龙山上的我国金元时期著名数学家李冶先生之墓，凭吊一位在千年书院中传播数学文化的先贤。为缅怀李冶先生，提前做了些功课，第一次较为认真地浏览了多年来国内外学者对李冶及其著作、思想的研究，着实受益匪浅、收获良多，尤坚前往封龙山追忆先人的决心。拜谒后敬仰之心更甚，顿生抚今追思之意，遂成此文，与君分享！
主席台从左至右：邓明立、顾沛、项武义、严加安、冯克勤、蒋春澜
纪念中国古代数学家李冶诞辰820周年
武汉周边旅游景点大全数学文化/第3卷第4期
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一、生逢乱世、潜心学问
李冶（1192-1279），字仁卿，号敬斋，真定府栾城（今河北栾城）人。关于他的名字是叫李冶还是李治历来是有争论的，清代道光年间研究《金史》的专家施国祁（号北研，1750-1824）先生在文章《跋敬斋古今》中指出：“……呜呼！其学术如是，其操履又如是，何后人不察，谬改其名，呼‘治’为‘冶’，……”提出要为“李治”正名，引发学者们对其名字是“李治”还是“李冶”的争论。
缪荃荪（字炎之，别字筱珊，1844-1919）支持施氏之观点。柯劭忞（字风荪，1848-1933）《新元史》中谓李冶本名治，后改李冶。但也有学者如陈叔陶（1913-1968）认为 “李冶”是对的，“李冶”固“李冶”也1。缪钺（字彦威，1904-1995）则认同原名“李治”并指出改名的原因可能是避讳与唐高宗同名2。近来也有学者认为使用“李冶”一名是为了避难、隐居需要所致，也可能与流经他家乡的大河“冶河”有关3。
著名数学史家李俨（字乐知，1892-1963）先生、钱宝琮（字琢如，1892-1974）先生以及著名数学教育家傅种孙（字仲嘉，1898-1962）先生在考证的基础上均认为“李治”是其原名，李俨先生的《中国算学史》专门列有“金李治传”一条4。程廷熙先生认为可写为“李冶（原名治）或李治（更名冶）”5。因此，今天数学史著作中多为“李冶，原名李治”的提法。
李冶于金明昌三年（1192年）生于大兴（今北京大兴），可谓生逢乱世，金朝奸臣得势，忠臣受贬，整个皇朝正由盛至衰。但并未影响李冶求学历程，他与元好问（字裕之，号遗山，1190-1257）外出求学，拜文学家赵秉文（字周臣，1159-1232）和杨文献（字正卿，1197-1269）为师，不久就名声大振，与赵、杨齐名。金正大七年（1230年），李冶被录取为辞赋科进士，同年得高陵（今陕西高陵）主簿官职，但蒙古窝阔台（1186-1241）军已攻入陕西，所以没能上任。接着又被调往阳翟附近的钧州（今河南禹州市）任知事。金开兴元年（1232年）蒙古军队攻破钧州。李冶不愿投降，走上漫长而艰苦的流亡之路。
李冶北渡黄河后流落于山西的忻县、崞县（今山西宁武、原平）之间，过着“饥寒不能自存”的生活．一年以后（1233年），汴京（今河南开封）陷落，元好问也弃官出京到山西避难。1234年初，金朝终于为蒙古所灭，李
冶与元好问都感到政事已无可为，于是潜心学问。李冶经过一段时间的颠沛流离之后，定居于崞县的
桐川，已年过四十的李冶开始艰苦的学术研究之路。正所谓“隐身免留千载笑，成书还待十年闲”，1248年，李冶写成他的代数学千古名著《测圆海镜》。
李冶虽然生逢乱世，但在这种极为艰苦的条件下仍进行科学研究。他在桐川著书时，“聚书环堵，人所不堪”，但却“处之裕如也”。居室十分狭小，甚至常常不得温饱，要为衣食而奔波。但他却以著书为乐，从不间断自己的研究工作。他的学生焦养直（字无咎，1238-1310）曾说他“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”，“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”。他的朋友砚坚（字伯固，1211-1289）说他：“世间书凡所经见，靡不洞究，至于薄物细故，亦不遗焉”。虽然“饥寒不能自存”，但仍然痴心的研究数学。因为在李冶看来，学问比财富更可贵。他说：“积财千万，不如薄技在身”，“金璧虽重宝，费用难贮蓄。学问藏之身，身在即有余”。另外，他的治学方法也值得称道，据记载，有人问学于李冶，他
答曰：“学有三，积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”，可见李冶善于去粗取精，批判地接受前人的知识。
李冶虽是词赋科进士，但他认识到数学的重要性，在
李冶画像（侯幼珍 作） 图片来源：孔国平，《李冶传》卷首
1陈叔陶.李冶李治辩.史学集刊,1937,(3):155-164.2
缪钺.李冶李治释疑.东方杂志,1943,39(16):41-42.
3杜宏权，赵平分.李冶李治辩.哈尔滨学院学报, 2003, 24(5):87-90.4李俨.中国算学史.商务印书馆,1998:108.
5程廷熙.随録：李治、李冶.数学通报
, 1953,(6):48.
《益古演段》自序中写道“术数虽居六艺之末，而施人之事，则最为切务”。长期以来，儒家传统认为读书人就该皓首穷经，算学并不是什么专门学问。北齐颜之推（字介，531-595）在《颜氏家训》中就说“算术亦是六艺要事，自古儒士论天道，定律历者，皆学通之。然可以兼明，不可以专业”6。
临安天目山旅游攻略两宋盛行的程朱理学，甚至把算学说成是“九九贱技”，研究科技也被看作“玩物丧志”。李冶毫不客气地批评了这种错误观点，指出在朱熹（字元晦，号晦庵，1130-1200）的著述中“窒碍之处亦不可以毛举也”，用“技兼于事”、“技进乎道”的思想，批驳理学家的观点。他说：“由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，亦不免为一技；由技进乎道者言之，石之斤，扁之轮，非圣人之所与乎？”（夷，黄帝臣名；夔，舜臣名；石、扁，均为古工匠名）这就是说，从技艺用于实际来说，圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺。从技艺中包含自然规律（即“道”）来说，工匠使用的工具也是圣人所赞赏的。
如果我们把李冶的话同庄子所说的“道者，万物之所由也。……道之所在，圣人尊之”联系起来，李冶受庄子思想的影响是一目了然的。他认为数学这种技艺也是“道之所在”，也应受到尊重7。虽然数学作为一种技艺不受儒家文化主流所重视，但李冶坚持认为“小数之假所以为大道所归”，也就是说“道”既来源于“小数”（技艺），又借“小数”而体现。在《益古演段》序中说：“安知轩隶之秘不于是乎始？”（谁知道轩辕隶首得道的秘诀不是始于数学呢？）通过对数学这种“小数”的追求也可以达到“技进乎道”的境界。
在《测圆海镜序》中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我者当千数。乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉？”可见，即使是其悯我者当百数，而笑我者当千数，他仍然坚持继续研究数学8。
二、隐而不仕、讲学封龙
1251年，经济状况好转的李冶结束了山西的避难生活，回到少年求学时的元氏县封龙山定居，开始了隐士般的生活。对这种隐居生活，李冶曾在《敬斋古今黈（音tǒu）》中说：“必也身有其德而退藏于密，始得谓之隐者也。彼无一德之可取而徒蹙于寒乡冻谷之中，是则素隐者耳”9。他除了在封龙山下购置了一些田产以维持生活之外，开始收徒讲学，从事数学教育活动。后来李冶的学生越来越多，家里逐渐容纳不下，于是师生共同努力，在北宋李昉（字明远，925-996）读书堂故基上建起封龙书院。他呕心沥血，培养出大批人才，并常在工作之余与元好问、张德辉（字耀卿，号颐斋，1195-1275）一起游封龙山，被称为“龙
山三老”。
1257年，忽必烈（1215-1294）听说李冶后派董文用（字彦材，1223-1297）专程到封龙山请李冶，在王庭问对中当面向其请教“天下当如何而治”。李冶答曰：“夫治天下，难则难于登天，易则易于反掌。盖有法度则治，控名责实则治，进君子退小人则治，如是而治天下，岂不易于反掌乎？无法度则乱，有名无实则乱，进小人退君子则乱，如是而治天下，岂不难于登天乎？”李冶会见忽必烈后，又回到封龙山，继续讲学著书。
1259年，他写成了另外一部推广和普及天元术的数学名著《益古演段》。1260年忽必烈继位，邀请李冶出任翰林学士，李冶以老病为辞，婉言谢绝。当时忽必烈初登大统，他的弟弟阿里不哥（1219-126
6）不服他，起兵反抗，元朝陷入连年内战。李冶是不会在这种局势动荡情况下为官的，正如他所言“世道相违，则君子隐而不仕”，“盖有大智不得大用，故羞耻不出，宁与市人木石为伍也”。
1265年，朝廷又征召李冶为翰林学士，时年七十三岁的李冶，见忽必烈反复热情邀请，于是终于应邀出山，到北京的翰林院任职。可以想象，一个数学家到了翰林院能有什么可干，这份工作实在不适合李冶其人，况且李冶是个追求思想自由的人，尤其不愿在学术上唯命是从。无奈就职一个月后，李冶认为翰林院里自己不能畅所欲言，“翰林视草，唯天子命之；史馆秉笔，以宰相监之。特书佐之流，有司之事，非作者所敢自专而非非是是也。今者犹以翰林、史馆为高选，是工谀誉而善缘饰者为高选也，吾恐识者羞之”，于是他再次以老病为由辞去翰林学士职务，回到封龙山继续过着“木石与居，麋鹿与游”的田园生活。
李冶离开北京回封龙山，他的朋友诗人耶律铸（字成仲，1221-1285）有赠别的诗一首“一代文章老，素车归故山。露浓山月净，荷老野塘寒。茅屋已知足，布衣甘分闲。世人学不得，须信古今难”。虽然李冶隐士的道路实属不得已，但在他看来，真正的隐士也是君子，他以此为豪：“君子之道，或出或处，然则必有道而不肯以轻出者，谓之处士可也。中无所有而尸处士之名者，素隐而行怪者也。”他的隐居生活也并非消极避世，而是积极地投入到著书、讲学活动中。或许李冶认为，从事数学研究和教育活动可以
6颜之推.颜氏家训.中华书局,2007:320.
7孔国平.李冶.见吴文俊主编.世界著名数学家传记（上集）.科学出版社,2003: 319.
8杜石然.数学·历史·社会.辽宁教育出版社,2003: 495.
9梅荣照.李冶及其数学著作.见《宋元数学史论文集》.科学出版社,1966: 106.
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数学文化/第3卷第4期21
让自己远离政治10。
书院是我国封建社会一种特殊的教育场所，在中国教育史上有着特殊的地位，但每每提到书院教育，人们常想起白鹿洞、岳麓、嵩阳、应天等四大书院。其实，封龙书院的地位，决不逊于四大书院。从创建年代来看，除了白鹿洞书院始创于唐代之外，岳麓、嵩山和应天书院都始创于宋代，而封龙山上的书院早在东汉就成为重要的教育场所。据《后汉书》中的伏恭（字叔齐，5-84）传记载，伏恭“迁常山太守，敦修学校，教授不辍，并注解《齐诗》”。同一时期，汉明帝刘庄（字子丽，28-75）的启蒙老师李躬在封龙山下龙山书院结庐授业，誉名“常山三老”11。书院有庙宇式讲堂、天然读书窑洞等，院内尚有清泉两眼，一曰蒙泉，水清且甜，是书院饮炊之水源。另一曰墨池，又称洗笔池，池水墨黑如漆，相传为莘莘学子洗笔之处。至唐代，又有郭震（字元振，656-713）等名流韵士游学或在此讲学立说，并题壁崖刻。
之后北宋名相李昉又投重资重新筹建了书院内部教学一应设施，正式命名为封龙书院。不久，李昉又在封龙山北坡创建了中溪书院。时隔两年，著名学者张著（字仲明，1221-1292）凭封龙福脉，借龙山灵气，择址峰西，创建了西溪书院。至此，封龙山三大书院步入全盛时期，并遥相呼应，教学相长，与保定的莲池书院统称为江北四大书院，与当时饮誉江南的四大书院竞相媲美。李昉是中国古代著名典籍《太平御览》和《太平广记》的总编纂，李昉之于封龙书院和朱熹之于白鹿洞书院，具有同样显赫的地位。而李昉在北宋政坛上的地位，却是朱熹所不可比拟的。
至金元时期，几经颓废的封龙书院又迎来了勃勃生机。李冶买田封龙山下，艰辛置业，重振封龙书院，聚徒授学，不多时便名流云集，海内景望。“教化大行，一时风气，为之转移”。封龙书院成为李冶后半生从事数学研究和数学教育活动的主要场所，李冶主持书院期间，与他被称为“龙山三老”的元好问、张德辉等著名学者都经常到此讲学。元曲名家白朴（字仁甫，1226-1306）、李文蔚（？-1251）等真定名士都曾随学于山中。元朝名将史天泽（字润甫，1202-1275）的四子史杠（字柔明，
1237-1315）、五子史杞（字子秀，1238-？），集贤学士焦养直、翰林修撰王德渊、宣抚崔莱等名人都曾就学于此。封龙书院也因李冶而声名大振，李冶越来越受到大家的尊重。
1265年，山西平定建起“四贤堂”，内置赵秉文、杨文献、元好问、李冶四公画像，发人深思的是，当
时四人当中只有李冶一人还健在12。1279年，李冶卒于家中，享年88岁，谥号文正。自宋以来，“文正”就成为文臣的最高谥号。历史上得享此谥号者寥寥无几，宋代仅有范仲淹（字希文，989-1052）、司马光（字君实，1019-1086）等八九人，巧合的是早于李冶执掌封龙书院的宋代李昉死后也是谥号“文正”，可见大家对李冶评价之高。
李冶逝世后，就被葬在了封龙山上。人们建李学士祠堂来纪念他，“真定之学者升公之堂，拜公之像，未尝不肃容以增远想也。”至治元年（1321年）重修封龙书院，元代著名学者袁桷（字伯长，号清容居士，1266-1327）在封龙山书院重修记中曰：“李氏世守家法，则书院永永，代有嘉誉。”继李冶之后，藁城籍学者安熙（字敬仲，号默庵，1269-1311）主持封龙书院，以“弟子去来，常至百人”，“四方来者，多所成就”蜚声江北江南。著名文学家苏天爵（字伯修，1294-1352）就是安熙的门生。
至明清，私学不显，此地学术式微，如明朝的乔宇（字希大，号白岩，1457-1534）游封龙山诗所云：“可怜书院无山长，半是黄冠半纳衣”。明嘉靖十八年（1539年）魏谦吉（字子惠，号槐川，1509-1560）等出资修整封龙书院，聚徒讲学。康熙年间栾城人民仿封龙书院在城内建龙冈书院，并尊李冶为“先达”。乾隆和道光年间，书院曾两次重修。光绪年间，学院濒于颓废，讲堂、圣像藏室等建筑，先后遭到毁坏。封龙书院因为李冶的影响而在我国书院史中，成为唯一以研究数学而见长的书院，以数学成就赢得了世人的关注，封龙书院具有重要的数学文化价值。
在中国几千年的文化传统中，算学始终被认为“六艺之末”而不能进入中华主流文化层面，数学家也未能像古希腊数学家那样多为哲学家、思想家而居于社会主流地位，中国古代数学研究者也大多为术士、匠人，处于中国传统主流文化核心的士大夫体均视算学为“九九贱技”而不耻为之。朱熹更以为：“且如今为此学而不穷天理，明人伦，讲圣言，通事故，乃兀然存心于一草木一器用之间，此是何学问？”修身、齐家、治国、平天下才是最重要、最根本的学问。李冶也是被这种观念束缚、徘徊直至中年以后才冲破传统观念的藩篱，最终选择数学作为主要研究方向，走上从通儒转变为数学家的道路，这在当时是离经叛道的，可见李冶坚定数学专业研究的决心。
10蔡天新.数学与人类文明.浙江大学出版社,2008: 74.
11“常山”指的是“常山郡”，元氏县有古城。“三老”是汉代一种制度，各级“三老”的职务是掌教化。李躬，元氏人（常山郡），被汉明帝封为“国三老”。但李躬在历史上没能留下传记，据《元氏县志》记述中，李氏家族在元氏历史上有着辉煌一页，到底为什么没有李躬这么重要历史人物的传记，史学家争论不一，实在是一大遗憾。
新疆多久能解封恢复正常12孔国平.李冶传.河北教育出版社,1988: 28.
数学文化/第3卷第4期22
数学文化/第3卷第4期
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x +136－248x -2＝0可表示为如下图两种情形。17
李冶的《测圆海镜》把勾股容圆（切圆）问题作为
一个系统来研究，讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题。卷一的“圆城图式”是全书出发点，书中170题都和这一图式有关。李冶的《测圆海镜》是依据“洞渊”九容之说编撰的，“余自幼喜算数，恒病夫考圆之术，……，老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎，而响之病我者，使爆然落去而无遗余。山中多暇，客有从余求其说者，于是乎又为衍之，遂累一百七十问。” 18
乳山银滩海景房
《测圆海镜》是我国现存最早的一部天元术著作，而且在体例上也有创新。孔国平先生认为《测圆海镜》全书基本上是一个演绎体系19，卷一包含了解题所需的定义、定理、公式，后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来。李冶之前的算书，一般采取问题集的形式，各章（卷）内容大体上平列。李冶以演绎法著书，这是中国数学史上的一个进步。莫绍揆（1917-2011）先生也指出在卷一“识别杂记”里面有完整的定义，归结出合适的公理，推导出丰富多彩的定理，它已建立了一个很好的公理系统，为我国开创了一条公理推演的新路，因而是一篇价值非凡的作品20。
《测圆海镜》的成书标志着天元术的成熟，对后世有深远的影响。元代王恂（字敬甫，1235-1281）、郭守敬（字若思，1231-1316）在编《授时历》的过程中，曾用天元
三、海镜宝书、演段益古
李冶一生著述颇丰，著书有《测圆海镜》十二卷、《益古演段》三卷，以及《敬斋古今黈》四十卷、《泛说》四十卷、《壁书丛削》十二卷等。其中《测圆海镜》与《益古演段》对于我国古代代数方法“
天元术”有重要贡献，这两部著作一直流传到现在，是我国古代数学的宝贵遗产。可惜其他著作除了《敬斋古今黈》十二卷本流传下来外，皆已失传。
虽然，李冶生平有不少文史著作，但临死前却对儿子说：“吾生平著述，死后可尽燔去，独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉后世必有知者。庶可不广垂永乎？” 13可见李冶对该书的重视。或许也正是因此原因才使得该书能得以流传、保存至今。
在古代中国，列方程的思想可追溯到汉代的《九章算术》，该书中用文字叙述的方法建立了二次方程，但没有明确的未知数概念。随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种普遍的建立方程的方法，天元术便应运而生。天元术最早出现的时间史学家也有异议，钱宝琮先生认为在12世纪末，李迪先生认为13世纪初流行于金代。孔国平先生认为11世纪就已出现。
但在李冶之前，天元术还是比较幼稚的，记号混乱、复杂，演算繁琐。据祖颐《四元玉鉴》后序中说，金元之际研究天元术的数学著作除了李冶外，还有蒋周的《益古》，李文一的《照胆》，石信道的《钤经》，刘汝锴的《如积释锁》等著述 14，但这些著作都已失传，只有李冶的流传下来，或许与李冶著作的深入浅出、晓然示人有关，对于中国传统算学的传承、发展贡献巨大。也使得《测圆海镜》成为我国现存最早的一部以天元术为主要内容的著作。书中的天元术达到相当完善的程度，堪称世界上第一流的数学著作，但在当时的中国却没有引起重视15。
宋代以前，方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，因为常数项通常是表示面积、体积等几何量的。方程次数不高于三次，因为高于三次的方程就难于到几何解释了。天元术的产生，标志着方程理论有了独立于几何的倾向。李冶对天元术的总结与提高，则使方程理论基本上摆脱了几何思维的束缚，实现了程序化。李冶认识到代数计算可以不依赖于几何，方程的二次项不一定表示面积，三次项也不一定表示体积16。
“天元术”其法是先“立天元一”表示所求的未知数，“立天元一为某某”就相当于我们今天的“设x 为某某”的意思。再依据问题所给的数据条件立两个数量相等的多项式，然后相减并合并同类项，于是便构成了一个一端为零的方程。这种作法，与现在列方程的步骤完全一样。天元术中在常数项的旁边记一个“太”字，或在一次项旁边记一个“元”字来表达多项式或方程。例如，方程 ：4x 2－
13
郭金彬，孔国平.中国传统数学思想史.科学出版社,2004: 197.
14周翰光.论李冶的科学思想. 吴文俊主编.中国数学史论文集（三）.
山东教育出版社,1987: 80.
15孔国平.李冶传.河北教育出版社,1988: 19.
16孔国平.测圆海镜导读.湖北教育出版社,1996: 19-20.
17郭金彬，李赞和.中国数学源流.福建教育出版社,1990: 157.18白尚恕.《测圆海镜》今译.山东教育出版社,1985:2-3.19孔国平.《测圆海镜》的构造性.自然科学史研究,1994,13(1):10-17.20莫绍揆.对李冶《测圆海镜》的新认识.自然科学史研究,1995,14(1): 22-36.
